Номер 413, страница 50 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Простые механизмы - номер 413, страница 50.

Условие.

413. Два груза уравновешены на концах рычага, плечи которого 50 см и 70 см. Найдите вес большего груза, если сила давления рычага на опору 72 Н. Весом рычага пренебречь.

Решение.

Дано:

Плечо первого груза, $l_1 = 50$ см

Плечо второго груза, $l_2 = 70$ см

Сила давления рычага на опору, $F_{дав} = 72$ Н

Перевод в систему СИ:

$l_1 = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

$l_2 = 70 \text{ см} = 0.7 \text{ м}$

Найти:

Вес большего груза, $P_{больший}$ - ?

Решение:

Поскольку рычаг находится в равновесии, на него действуют три силы: вес первого груза $P_1$, вес второго груза $P_2$ и сила реакции опоры $\text{N}$. Весом самого рычага по условию задачи можно пренебречь.

Сила давления рычага на опору $F_{дав}$ согласно третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры $\text{N}$, которая действует со стороны опоры на рычаг. Следовательно, $N = F_{дав} = 72$ Н.

Первое условие равновесия (равенство сил) гласит, что векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю. Для рычага в вертикальном направлении это означает, что сила реакции опоры уравновешивает суммарный вес грузов:

$N = P_1 + P_2$

Подставляя известное значение $\text{N}$, получаем первое уравнение:

$P_1 + P_2 = 72 \text{ Н}$ (1)

Второе условие равновесия (правило моментов) гласит, что сумма моментов сил, вращающих рычаг в одном направлении, равна сумме моментов сил, вращающих его в противоположном направлении. Момент силы равен произведению модуля силы на её плечо: $M = P \cdot l$.

Для нашего рычага правило моментов записывается как:

$P_1 \cdot l_1 = P_2 \cdot l_2$ (2)

Для того чтобы рычаг был в равновесии, больший по весу груз должен находиться на меньшем плече. Обозначим вес на меньшем плече ($l_1 = 0.5$ м) как $P_1$, а вес на большем плече ($l_2 = 0.7$ м) как $P_2$. Таким образом, $P_1$ и будет искомым большим весом.

Подставим значения длин плеч в уравнение (2):

$P_1 \cdot 0.5 = P_2 \cdot 0.7$

Из этого соотношения выразим $P_2$ через $P_1$:

$P_2 = P_1 \cdot \frac{0.5}{0.7} = P_1 \cdot \frac{5}{7}$

Теперь подставим полученное выражение для $P_2$ в уравнение (1):

$P_1 + P_1 \cdot \frac{5}{7} = 72$

Вынесем $P_1$ за скобки:

$P_1 \cdot (1 + \frac{5}{7}) = 72$

$P_1 \cdot (\frac{7}{7} + \frac{5}{7}) = 72$

$P_1 \cdot \frac{12}{7} = 72$

Теперь найдем значение $P_1$:

$P_1 = \frac{72 \cdot 7}{12} = 6 \cdot 7 = 42$ Н

Это вес большего груза. Для проверки найдем вес второго (меньшего) груза:

$P_2 = 72 - P_1 = 72 - 42 = 30$ Н

Так как $42 \text{ Н} > 30 \text{ Н}$, вес большего груза действительно равен 42 Н.

Ответ: Вес большего груза равен 42 Н.