Номер 418, страница 50 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Простые механизмы - номер 418, страница 50.

Условие.

418. На однородной доске длиной 4 м и массой 30 кг качаются два мальчика массами 30 кг и 40 кг. На каком расстоянии от центра доски должна находиться точка опоры, если мальчики сидят на ее концах?

Решение.

Дано:

Длина доски $L = 4$ м

Масса доски $m_д = 30$ кг

Масса первого мальчика $m_1 = 30$ кг

Масса второго мальчика $m_2 = 40$ кг

Найти:

Расстояние от центра доски до точки опоры $\text{x}$ - ?

Решение:

Для того чтобы система находилась в равновесии, необходимо, чтобы сумма моментов сил, действующих на доску относительно точки опоры, была равна нулю. Это правило рычага. Момент силы $\text{M}$ равен произведению силы $\text{F}$ на ее плечо $\text{d}$ (кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы).

$M = F \cdot d$

Силами, действующими на доску, являются силы тяжести мальчиков ($F_1 = m_1g$ и $F_2 = m_2g$) и сила тяжести самой доски ($F_д = m_дg$). Поскольку доска однородная, ее сила тяжести приложена в ее геометрическом центре.

Мальчики сидят на концах доски, то есть на расстоянии $L/2$ от центра. Чтобы уравновесить систему, точка опоры должна быть смещена от центра в сторону более тяжелого мальчика (с массой $m_2 = 40$ кг). Обозначим это смещение как $\text{x}$.

Тогда плечи сил относительно точки опоры будут следующими:

• Плечо силы тяжести более тяжелого мальчика: $d_2 = \frac{L}{2} - x$
• Плечо силы тяжести более легкого мальчика: $d_1 = \frac{L}{2} + x$
• Плечо силы тяжести доски: $d_д = x$

Условие равновесия моментов: момент силы, вращающий доску по часовой стрелке (создаваемый тяжелым мальчиком), должен быть равен сумме моментов сил, вращающих доску против часовой стрелки (создаваемых легким мальчиком и весом самой доски).

$M_2 = M_1 + M_д$

$F_2 \cdot d_2 = F_1 \cdot d_1 + F_д \cdot d_д$

Подставим выражения для сил и их плеч:

$m_2g(\frac{L}{2} - x) = m_1g(\frac{L}{2} + x) + m_дg \cdot x$

Ускорение свободного падения $\text{g}$ есть в каждом слагаемом, поэтому его можно сократить:

$m_2(\frac{L}{2} - x) = m_1(\frac{L}{2} + x) + m_дx$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\text{x}$:

$\frac{m_2L}{2} - m_2x = \frac{m_1L}{2} + m_1x + m_дx$

Сгруппируем слагаемые с $\text{x}$ в одной части, а остальные в другой:

$\frac{m_2L}{2} - \frac{m_1L}{2} = m_1x + m_2x + m_дx$

$\frac{L(m_2 - m_1)}{2} = x(m_1 + m_2 + m_д)$

Отсюда находим $\text{x}$:

$x = \frac{L(m_2 - m_1)}{2(m_1 + m_2 + m_д)}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$x = \frac{4 \text{ м} \cdot (40 \text{ кг} - 30 \text{ кг})}{2 \cdot (30 \text{ кг} + 40 \text{ кг} + 30 \text{ кг})} = \frac{4 \cdot 10}{2 \cdot 100} = \frac{40}{200} = 0.2$ м.

Ответ: точка опоры должна находиться на расстоянии 0,2 м от центра доски.