Номер 422, страница 51 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Простые механизмы - номер 422, страница 51.

Условие.

422. Однородный стержень с прикрепленным на одном из его концов грузом массой 1,1 кг находится в равновесии в горизонтальном положении на острой опоре, расположенной на расстоянии $\frac{1}{4}$ длины стержня от груза. Найдите массу стержня.

Решение.

Дано:

$m_{груза} = 1,1$ кг
$\text{L}$ — длина стержня
$l_{опоры} = \frac{1}{4}L$ — расстояние от груза до опоры

Найти:

$m_{стержня}$ — масса стержня

Решение:

Стержень находится в равновесии, что означает, что сумма моментов сил, действующих на него относительно точки опоры, равна нулю. Это условие известно как правило моментов: момент силы, вращающий стержень в одном направлении (например, по часовой стрелке), должен быть равен моменту силы, вращающему его в противоположном направлении (против часовой стрелки).

Момент силы вычисляется по формуле $M = F \cdot l$, где $\text{F}$ — сила, а $\text{l}$ — плечо силы (кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы).

На стержень действуют две силы, создающие вращающие моменты относительно опоры:
1. Сила тяжести груза $P_1 = m_{груза} \cdot g$. Эта сила приложена к концу стержня. Плечо этой силы $l_1$ равно расстоянию от груза до опоры, то есть $l_1 = \frac{1}{4}L$.
2. Сила тяжести самого стержня $P_2 = m_{стержня} \cdot g$. Поскольку стержень однородный, его сила тяжести приложена к его центру масс, который находится посередине стержня, на расстоянии $\frac{L}{2}$ от конца.

Найдем плечо силы тяжести стержня $l_2$. Это расстояние от точки опоры до центра масс стержня. $l_2 = \frac{L}{2} - l_1 = \frac{L}{2} - \frac{L}{4} = \frac{2L - L}{4} = \frac{L}{4}$.

Запишем уравнение моментов. Момент, создаваемый грузом, уравновешивается моментом, создаваемым весом стержня: $M_1 = M_2$
$P_1 \cdot l_1 = P_2 \cdot l_2$
$(m_{груза} \cdot g) \cdot \frac{L}{4} = (m_{стержня} \cdot g) \cdot \frac{L}{4}$

Мы можем сократить обе части уравнения на одинаковые множители $\text{g}$ и $\frac{L}{4}$:
$m_{груза} = m_{стержня}$

Поскольку масса груза известна, мы можем найти массу стержня:
$m_{стержня} = 1,1$ кг.

Ответ: масса стержня равна 1,1 кг.