Номер 424, страница 51 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Простые механизмы - номер 424, страница 51.

Условие.

424. Составной стержень представляет собой два цилиндра разной длины и одинакового сечения, прижатых друг к другу торцами. Изготовлены цилиндры из материалов с плотностями $ \rho_1 = \rho $ и $ \rho_2 = 2\rho $. Оказалось, что стержень будет находиться в равновесии в горизонтальном положении, если его подвесить на нити, закрепленной на месте стыка. Определите отношение масс цилиндров.

Решение.

Дано:

Плотность первого цилиндра: $ρ_1 = ρ$
Плотность второго цилиндра: $ρ_2 = 2ρ$
Площадь поперечного сечения цилиндров одинакова: $S_1 = S_2 = S$
Стержень находится в равновесии при подвесе в точке стыка.

Найти:

Отношение масс цилиндров $m_2/m_1$.

Решение:

Пусть $l_1$ и $m_1$ – длина и масса первого цилиндра (с плотностью $ρ$), а $l_2$ и $m_2$ – длина и масса второго цилиндра (с плотностью $2ρ$). Массы цилиндров можно выразить через их объемы $V_1 = S l_1$ и $V_2 = S l_2$ и плотности:

$m_1 = ρ_1 V_1 = ρ S l_1$

$m_2 = ρ_2 V_2 = 2ρ S l_2$

Стержень находится в равновесии, если моменты сил, действующих на него относительно точки подвеса, уравновешивают друг друга. Точкой подвеса (осью вращения) является место стыка цилиндров. На стержень действуют силы тяжести $F_1 = m_1 g$ и $F_2 = m_2 g$, приложенные к центрам масс каждого цилиндра. Поскольку цилиндры однородные, их центры масс находятся в их геометрических центрах, то есть на расстоянии $d_1 = l_1/2$ и $d_2 = l_2/2$ от точки стыка.

Момент силы тяжести первого цилиндра $M_1$ и момент силы тяжести второго цилиндра $M_2$ равны:

$M_1 = F_1 d_1 = m_1 g \frac{l_1}{2}$

$M_2 = F_2 d_2 = m_2 g \frac{l_2}{2}$

Условие равновесия стержня: $M_1 = M_2$.

$m_1 g \frac{l_1}{2} = m_2 g \frac{l_2}{2}$

Сократив общие множители, получаем:

$m_1 l_1 = m_2 l_2$

Теперь подставим в это равенство выражения для масс $m_1$ и $m_2$:

$(ρ S l_1) l_1 = (2ρ S l_2) l_2$

$ρ S l_1^2 = 2ρ S l_2^2$

Сократим $ρ$ и $\text{S}$:

$l_1^2 = 2l_2^2$

Отсюда находим соотношение длин цилиндров:

$\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{2}$

Теперь найдем искомое отношение масс цилиндров:

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{2ρ S l_2}{ρ S l_1} = 2 \frac{l_2}{l_1}$

Так как $\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{2}$, то обратное отношение $\frac{l_2}{l_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставим это в выражение для отношения масс:

$\frac{m_2}{m_1} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Ответ: Отношение массы второго цилиндра (с большей плотностью) к массе первого цилиндра равно $\sqrt{2}$.