Номер 420, страница 50 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Простые механизмы - номер 420, страница 50.

Условие.

420. На столе, перпендикулярно его краю, лежит однородный стержень массой 600 г так, что $\frac{2}{3}$ его длины находится за краем стола. Какую минимальную силу надо приложить к концу стержня, чтобы удержать его в горизонтальном положении?

Решение.

Дано

Масса однородного стержня, $m = 600 \text{ г}$
Часть длины стержня, находящаяся за краем стола, составляет $\frac{2}{3}$ от всей длины $\text{L}$.
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

Перевод в систему СИ:
$m = 600 \text{ г} = 0.6 \text{ кг}$

Найти:

Минимальную силу $\text{F}$, которую надо приложить к концу стержня, чтобы удержать его в горизонтальном положении.

Решение:

Чтобы стержень находился в равновесии, необходимо, чтобы сумма моментов сил, действующих на него относительно точки опоры, была равна нулю. В качестве точки опоры (оси вращения) выберем край стола.

На стержень действуют две силы, создающие вращающие моменты относительно края стола:

1. Сила тяжести $P = mg$, приложенная к центру масс стержня. Так как стержень однородный, его центр масс находится посередине, на расстоянии $\frac{L}{2}$ от любого конца. Эта сила создает вращающий момент, стремящийся опрокинуть стержень (по часовой стрелке).

2. Удерживающая сила $\text{F}$, приложенная к концу стержня, лежащему на столе. Эта сила должна быть направлена вертикально вниз и создавать уравновешивающий момент (против часовой стрелки).

Запишем правило моментов. Момент силы равен произведению модуля силы на ее плечо (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Длина части стержня на столе составляет $L - \frac{2}{3}L = \frac{1}{3}L$.

Плечо силы тяжести $l_P$ — это расстояние от края стола до центра масс стержня. Так как центр масс находится на расстоянии $\frac{L}{2}$ от конца стержня, а край стола — на расстоянии $\frac{L}{3}$ от того же конца, то плечо равно:
$l_P = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{3L - 2L}{6} = \frac{L}{6}$

Вращающий момент силы тяжести:
$M_P = P \cdot l_P = mg \cdot \frac{L}{6}$

Плечо удерживающей силы $l_F$ равно длине части стержня, лежащей на столе:
$l_F = \frac{L}{3}$

Уравновешивающий момент удерживающей силы:
$M_F = F \cdot l_F = F \cdot \frac{L}{3}$

Согласно условию равновесия, моменты сил должны быть равны:
$M_F = M_P$
$F \cdot \frac{L}{3} = mg \cdot \frac{L}{6}$

Сократим длину $\text{L}$ в обеих частях уравнения:
$\frac{F}{3} = \frac{mg}{6}$

Выразим искомую силу $\text{F}$:
$F = \frac{mg \cdot 3}{6} = \frac{mg}{2}$

Подставим числовые значения:
$F = \frac{0.6 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}}{2} = \frac{6 \text{ Н}}{2} = 3 \text{ Н}$

Ответ: минимальная сила, которую надо приложить к концу стержня, равна 3 Н.