Номер 427, страница 52 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Простые механизмы - номер 427, страница 52.

Условие.

427. На столе перпендикулярно его краю лежит однородная линейка длиной 75 см. Часть линейки свешивается со стола. К концу этой части линейки подвешен груз, масса которого в 2 раза больше массы линейки. Найдите длину свешивающейся части линейки, если вся система находится в равновесии.

Решение.

Дано:

$L = 75$ см

$M = 2m$

$L = 75 \text{ см} = 0.75 \text{ м}$

Найти:

$\text{x}$ - ?

Решение:

Для того чтобы система находилась в равновесии, необходимо, чтобы сумма моментов сил, вращающих линейку по часовой стрелке, была равна сумме моментов сил, вращающих ее против часовой стрелки. Точкой опоры (осью вращения) в данном случае является край стола.

Пусть $\text{L}$ – общая длина линейки, $\text{m}$ – ее масса. Пусть $\text{x}$ – длина свешивающейся части линейки.

Против часовой стрелки действует момент силы тяжести части линейки, которая лежит на столе. Ее длина равна $L-x$. Так как линейка однородная, масса этой части пропорциональна ее длине: $m_1 = m \frac{L-x}{L}$. Центр масс этой части находится посередине, то есть на расстоянии (плечо силы) $d_1 = \frac{L-x}{2}$ от края стола. Момент силы, вращающий линейку против часовой стрелки:

$M_1 = m_1 g d_1 = (m \frac{L-x}{L}) g (\frac{L-x}{2}) = \frac{mg(L-x)^2}{2L}$

По часовой стрелке действуют два момента сил:

1. Момент силы тяжести свешивающейся части линейки. Длина этой части $\text{x}$, ее масса $m_2 = m \frac{x}{L}$, а плечо силы $d_2 = \frac{x}{2}$. Момент силы:

$M_2 = m_2 g d_2 = (m \frac{x}{L}) g (\frac{x}{2}) = \frac{mgx^2}{2L}$

2. Момент силы тяжести подвешенного груза. Масса груза $M = 2m$, а плечо силы $d_3 = x$. Момент силы:

$M_3 = M g d_3 = 2mgx$

Запишем условие равновесия моментов:

$M_1 = M_2 + M_3$

$\frac{mg(L-x)^2}{2L} = \frac{mgx^2}{2L} + 2mgx$

Сократим обе части уравнения на $mg$:

$\frac{(L-x)^2}{2L} = \frac{x^2}{2L} + 2x$

Умножим обе части уравнения на $2L$, чтобы избавиться от знаменателя:

$(L-x)^2 = x^2 + 4Lx$

Раскроем скобки в левой части:

$L^2 - 2Lx + x^2 = x^2 + 4Lx$

Сократим $x^2$ в обеих частях:

$L^2 - 2Lx = 4Lx$

Перенесем слагаемое с $\text{x}$ в правую часть:

$L^2 = 4Lx + 2Lx$

$L^2 = 6Lx$

Выразим $\text{x}$:

$x = \frac{L^2}{6L} = \frac{L}{6}$

Подставим числовое значение длины линейки $L = 75$ см:

$x = \frac{75 \text{ см}}{6} = 12.5 \text{ см}$

Ответ: 12.5 см.