Номер 428, страница 52 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Простые механизмы - номер 428, страница 52.

Условие.

428. К коромыслу равноплечих весов подвешены два груза одинаковой массы. Если каждый из грузов поместить в жидкости: первый – с плотностью 1000 $\text{кг}/\text{м}^3$, второй – 800 $\text{кг}/\text{м}^3$, то сохранится равновесие. Найдите отношение плотностей грузов. Считать, что грузы полностью погружены в жидкость.

Решение.

Дано:

Массы грузов равны: $m_1 = m_2 = m$

Плотность первой жидкости: $\rho_{ж1} = 1000 \, \text{кг/м}^3$

Плотность второй жидкости: $\rho_{ж2} = 800 \, \text{кг/м}^3$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Отношение плотностей грузов: $\frac{\rho_1}{\rho_2}$

Решение:

Обозначим плотности первого и второго грузов как $\rho_1$ и $\rho_2$, а их объемы — как $V_1$ и $V_2$ соответственно.

Когда грузы подвешены к коромыслу весов и погружены в жидкости, на них действуют две силы: сила тяжести $F_g$, направленная вниз, и выталкивающая сила Архимеда $F_A$, направленная вверх. Весы показывают кажущийся вес тела в жидкости, который равен $P = F_g - F_A$.

Поскольку весы равноплечие и находятся в равновесии, кажущиеся веса грузов равны:

$P_1 = P_2$

Кажущийся вес первого груза в первой жидкости:

$P_1 = m_1 g - F_{A1} = m g - \rho_{ж1} g V_1$

Кажущийся вес второго груза во второй жидкости:

$P_2 = m_2 g - F_{A2} = m g - \rho_{ж2} g V_2$

Приравниваем выражения для кажущихся весов:

$m g - \rho_{ж1} g V_1 = m g - \rho_{ж2} g V_2$

Вычитая $mg$ из обеих частей уравнения, получаем, что выталкивающие силы, действующие на грузы, равны:

$\rho_{ж1} g V_1 = \rho_{ж2} g V_2$

Сократим ускорение свободного падения $\text{g}$:

$\rho_{ж1} V_1 = \rho_{ж2} V_2$

Объемы грузов можно выразить через их массу $\text{m}$ и плотности $\rho_1$ и $\rho_2$:

$V_1 = \frac{m}{\rho_1}$

$V_2 = \frac{m}{\rho_2}$

Подставим эти выражения в предыдущее уравнение:

$\rho_{ж1} \frac{m}{\rho_1} = \rho_{ж2} \frac{m}{\rho_2}$

Сократим массу $\text{m}$ (так как она не равна нулю):

$\frac{\rho_{ж1}}{\rho_1} = \frac{\rho_{ж2}}{\rho_2}$

Из этого соотношения выразим искомое отношение плотностей грузов $\frac{\rho_1}{\rho_2}$:

$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{\rho_{ж1}}{\rho_{ж2}}$

Теперь подставим числовые значения плотностей жидкостей:

$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1000 \, \text{кг/м}^3}{800 \, \text{кг/м}^3} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$

Ответ: Отношение плотностей грузов составляет 1,25.