Номер 429, страница 52 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Простые механизмы - номер 429, страница 52.

Условие.

429. Однородный куб плавает в воде, погрузившись на $ \frac{3}{4} $ своего объема. Если с помощью тонкой нити при-крепить центр верхней грани куба к плечу рычага длиной 8 см и уравновесить его гирей массой 36 г, прикреплен-ной к другому плечу рычага длиной 4 см, то куб будет погружен только на $ \frac{2}{3} $ своего объема. Найдите длину реб-ра куба.

Решение.

Дано:

$k_1 = \frac{3}{4}$

$l_1 = 8$ см

$m_г = 36$ г

$l_2 = 4$ см

$k_2 = \frac{2}{3}$

$\rho_в = 1000$ кг/м³

Перевод в систему СИ:

$l_1 = 0.08$ м

$m_г = 0.036$ кг

$l_2 = 0.04$ м

Найти:

$\text{a}$ - ?

Решение:

1. Рассмотрим первое состояние, когда куб свободно плавает в воде. По условию плавания тел, действующая на куб сила тяжести $P_{куба}$ уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_{A1}$.

$P_{куба} = F_{A1}$

Сила тяжести куба определяется как $P_{куба} = m_{куба}g = \rho_{куба}Vg$, где $V = a^3$ - объем куба, $\rho_{куба}$ - плотность материала куба, а $\text{g}$ - ускорение свободного падения. Выталкивающая сила равна $F_{A1} = \rho_в g V_{погр1}$, где $\rho_в$ - плотность воды, а $V_{погр1}$ - объем погруженной части куба. По условию, $V_{погр1} = k_1 V = \frac{3}{4}V$.

Приравняем силы:

$\rho_{куба}Vg = \rho_в g \frac{3}{4}V$

Сократив $Vg$, находим плотность куба:

$\rho_{куба} = \frac{3}{4}\rho_в$

$\rho_{куба} = \frac{3}{4} \cdot 1000 \text{ кг/м³} = 750 \text{ кг/м³}$

2. Рассмотрим второе состояние, когда куб прикреплен к рычагу. Сначала запишем условие равновесия для рычага: моменты сил, действующих на него, равны $M_1 = M_2$.

На одно плечо рычага действует сила натяжения нити $F_{нити}$, на другое - сила тяжести гири $P_г = m_г g$.

$F_{нити} \cdot l_1 = m_г g \cdot l_2$

Отсюда можем выразить силу натяжения нити, действующую на куб:

$F_{нити} = \frac{m_г g l_2}{l_1}$

3. Теперь запишем условие равновесия для куба во втором состоянии. На куб действуют три вертикальные силы: сила тяжести $P_{куба}$ (вниз), новая выталкивающая сила $F_{A2}$ (вверх) и сила натяжения нити $F_{нити}$ (вверх).

$P_{куба} = F_{A2} + F_{нити}$

В этом случае объем погруженной части куба составляет $V_{погр2} = k_2 V = \frac{2}{3}V$. Следовательно, новая выталкивающая сила равна $F_{A2} = \rho_в g \frac{2}{3}V$.

4. Подставим все известные выражения в уравнение равновесия для куба:

$\rho_{куба}Vg = \rho_в g \frac{2}{3}V + \frac{m_г g l_2}{l_1}$

Используем найденное ранее соотношение $\rho_{куба} = \frac{3}{4}\rho_в$:

$\frac{3}{4}\rho_в Vg = \frac{2}{3}\rho_в g V + \frac{m_г g l_2}{l_1}$

Сократим обе части уравнения на $\text{g}$ и сгруппируем слагаемые с объемом $\text{V}$:

$\rho_в V (\frac{3}{4} - \frac{2}{3}) = \frac{m_г l_2}{l_1}$

$\rho_в V (\frac{9 - 8}{12}) = \frac{m_г l_2}{l_1}$

$\frac{1}{12}\rho_в V = \frac{m_г l_2}{l_1}$

Теперь выразим объем куба $\text{V}$:

$V = \frac{12 m_г l_2}{\rho_в l_1}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$V = \frac{12 \cdot 0.036 \text{ кг} \cdot 0.04 \text{ м}}{1000 \text{ кг/м³} \cdot 0.08 \text{ м}} = \frac{0.01728}{80} = 0.000216 \text{ м³}$

5. Объем куба связан с длиной его ребра $\text{a}$ формулой $V = a^3$. Найдем длину ребра:

$a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{0.000216 \text{ м³}} = 0.06 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0.06 \text{ м} = 6 \text{ см}$.

Ответ: длина ребра куба равна 6 см.