Номер 353, страница 104 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Отражение света. Плоское зеркало - номер 353, страница 104.

Условие.

353. Два плоских зеркала располагаются под углом друг к другу, и между ними помещается точечный источник света. Расстояние от этого источника до одного зеркала 3 см, до другого – 4 см. Расстояние между первыми изображениями источника света в зеркалах 5 см. Найдите угол между зеркалами.

Решение.

Дано:

$d_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$d_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$L = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

$\alpha$ - угол между зеркалами.

Решение:

Пусть два плоских зеркала $M_1$ и $M_2$ пересекаются в точке $\text{O}$ под углом $\alpha$. Точечный источник света $\text{S}$ находится между ними. $I_1$ и $I_2$ — это первые мнимые изображения источника в зеркалах $M_1$ и $M_2$ соответственно.

Расстояние от источника до зеркала — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость зеркала. Обозначим основания этих перпендикуляров как $P_1$ на зеркале $M_1$ и $P_2$ на зеркале $M_2$.
По условию, $SP_1 = d_1 = 3$ см, и $SP_2 = d_2 = 4$ см.

Рассмотрим четырехугольник $OP_1SP_2$. Углы $\angle OP_1S$ и $\angle OP_2S$ являются прямыми, так как $SP_1$ и $SP_2$ — перпендикуляры. Угол $\angle P_1OP_2$ — это угол между зеркалами, то есть $\alpha$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$, поэтому:
$\angle P_1SP_2 = 360^\circ - \angle OP_1S - \angle OP_2S - \angle P_1OP_2 = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \alpha = 180^\circ - \alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle SP_1P_2$. Применим к нему теорему косинусов для нахождения стороны $P_1P_2$:
$P_1P_2^2 = SP_1^2 + SP_2^2 - 2 \cdot SP_1 \cdot SP_2 \cdot \cos(\angle P_1SP_2)$
$P_1P_2^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2 d_1 d_2 \cos(180^\circ - \alpha)$
Так как $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:
$P_1P_2^2 = d_1^2 + d_2^2 + 2 d_1 d_2 \cos(\alpha)$

Изображение $I_1$ является симметричным отражением источника $\text{S}$ относительно зеркала $M_1$. Это означает, что точка $P_1$ является серединой отрезка $SI_1$. Аналогично, точка $P_2$ является серединой отрезка $SI_2$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SI_1I_2$. Отрезок $P_1P_2$ соединяет середины двух его сторон ($SI_1$ и $SI_2$). По теореме о средней линии треугольника, отрезок $P_1P_2$ параллелен третьей стороне $I_1I_2$ и равен ее половине:
$P_1P_2 = \frac{1}{2} I_1I_2 = \frac{L}{2}$

Подставим известные значения в полученные формулы. Расстояние между изображениями $L = 5$ см, значит $P_1P_2 = 5/2 = 2.5$ см.
Теперь подставим все значения в уравнение теоремы косинусов, используя данные в сантиметрах:
$(2.5)^2 = 3^2 + 4^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(\alpha)$
$6.25 = 9 + 16 + 24 \cos(\alpha)$
$6.25 = 25 + 24 \cos(\alpha)$
$24 \cos(\alpha) = 6.25 - 25$
$24 \cos(\alpha) = -18.75$

Выразим $\cos(\alpha)$:
$\cos(\alpha) = \frac{-18.75}{24} = -\frac{75/4}{24} = -\frac{75}{96}$
Сократим дробь на 3:
$\cos(\alpha) = -\frac{25}{32}$

Таким образом, угол между зеркалами $\alpha$ равен арккосинусу этого значения.
$\alpha = \arccos\left(-\frac{25}{32}\right)$

Ответ: Угол между зеркалами равен $\arccos\left(-\frac{25}{32}\right)$.