Номер 351, страница 104 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Отражение света. Плоское зеркало - номер 351, страница 104.

Условие.

351. Человек ростом $1,8 \text{ м}$ видит Луну по направлению, составляющему угол $60^\circ$ с горизонтом. На каком расстоянии от себя человек должен положить на землю зеркальце, чтобы в нем увидеть отражение Луны?

Решение.

Дано:

Рост человека, $h = 1,8$ м
Угол Луны над горизонтом, $\alpha = 60^\circ$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Расстояние от человека до зеркальца, $\text{d}$

Решение:

Для того чтобы человек увидел отражение Луны в зеркальце, лежащем на земле, луч света от Луны должен упасть на зеркальце и, отразившись от него, попасть в глаз человека. Поскольку Луна находится на очень большом расстоянии, лучи света от нее можно считать параллельными. Угол, который эти лучи составляют с горизонтом (поверхностью земли), по условию равен $\alpha = 60^\circ$.

Согласно закону отражения света, угол падения равен углу отражения. Эти углы отсчитываются от перпендикуляра (нормали) к отражающей поверхности. Так как зеркальце лежит на горизонтальной земле, нормаль к нему направлена вертикально.

Угол падения луча $\theta_i$ — это угол между падающим лучом и нормалью. Он связан с углом $\alpha$ следующим образом:

$\theta_i = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Угол отражения $\theta_r$ равен углу падения:

$\theta_r = \theta_i = 30^\circ$

Отраженный луч идет от зеркальца к глазу человека. Угол $\beta$, который отраженный луч составляет с поверхностью земли, равен:

$\beta = 90^\circ - \theta_r = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный глазом человека, его ногами и точкой на земле, где лежит зеркальце. Вертикальный катет этого треугольника — это рост человека $h = 1,8$ м, а горизонтальный катет — искомое расстояние $\text{d}$. Угол в этом треугольнике, прилежащий к катету $\text{d}$, равен $\beta = 60^\circ$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\beta) = \frac{h}{d}$

Отсюда выразим расстояние $\text{d}$:

$d = \frac{h}{\tan(\beta)}$

Подставим известные значения:

$d = \frac{1,8}{\tan(60^\circ)}$

Зная, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$d = \frac{1,8}{\sqrt{3}}$ м.

Для получения точного ответа в удобной форме, избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{1,8 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1,8\sqrt{3}}{3} = 0,6\sqrt{3}$ м.

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1,732$:

$d \approx 0,6 \cdot 1,732 \approx 1,0392$ м.

Ответ: человек должен положить зеркальце на расстоянии $d = 0,6\sqrt{3}$ м (что приблизительно равно 1,04 м) от себя.