Номер 345, страница 103 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Отражение света. Плоское зеркало - номер 345, страница 103.

Условие.

345. Определите угол между двумя плоскими зеркалами, если точечный источник света и два его изображения находятся в вершинах равностороннего треугольника.

Решение.

Решение

Пусть два плоских зеркала $M_1$ и $M_2$ пересекаются в точке $\text{O}$ под углом $\alpha$. Пусть $\text{S}$ — точечный источник света, $S'$ — его изображение в зеркале $M_1$, а $S''$ — его изображение в зеркале $M_2$.

Согласно свойствам плоского зеркала, изображение объекта находится на том же расстоянии от зеркала, что и сам объект. Отсюда следует, что расстояния от точки пересечения зеркал $\text{O}$ до источника и его изображений равны: $OS = OS' = OS''$. Это означает, что точки $\text{S}$, $S'$ и $S''$ лежат на окружности с центром в точке $\text{O}$ и радиусом $R = OS$.

По условию задачи, точки $\text{S}$, $S'$ и $S''$ являются вершинами равностороннего треугольника. Вписанный в окружность равносторонний треугольник делит её на три равные дуги. Следовательно, центральные углы, стягиваемые сторонами этого треугольника, равны между собой и составляют $360^\circ / 3 = 120^\circ$.

Установим связь между этими центральными углами и углом $\alpha$ между зеркалами. Введем систему координат с началом в точке $\text{O}$. Пусть зеркало $M_1$ совпадает с осью $Ox$. Тогда зеркало $M_2$ представляет собой прямую, проходящую через начало координат под углом $\alpha$ к оси $Ox$. Пусть источник $\text{S}$ находится между зеркалами и его положение задается углом $\theta$ относительно зеркала $M_1$ (оси $Ox$), где $0 < \theta < \alpha$.

Изображение $S'$ является отражением точки $\text{S}$ относительно оси $Ox$. Если $\text{S}$ имеет угловую координату $\theta$, то $S'$ будет иметь угловую координату $-\theta$.

Изображение $S''$ является отражением точки $\text{S}$ относительно прямой, проходящей под углом $\alpha$. Его угловая координата будет равна $2\alpha - \theta$.

Найдем угловые расстояния (дуги) между точками $S, S', S''$ на окружности. Для этого нам нужно упорядочить их по угловой координате. Так как $0 < \theta < \alpha$, то $-\theta < \theta$ и $\theta < 2\alpha - \theta$ (поскольку $2\alpha - 2\theta = 2(\alpha - \theta) > 0$). Таким образом, углы точек на окружности расположены в следующем порядке: $-\theta$ (для $S'$), $\theta$ (для $\text{S}$), $2\alpha - \theta$ (для $S''$).

Теперь мы можем найти величины дуг, на которые точки делят окружность:

1. Дуга между $S'$ и $\text{S}$: $\theta - (-\theta) = 2\theta$.

2. Дуга между $\text{S}$ и $S''$: $(2\alpha - \theta) - \theta = 2\alpha - 2\theta$.

3. Дуга между $S''$ и $S'$ (замыкающая окружность): $360^\circ - ((2\alpha - \theta) - (-\theta)) = 360^\circ - 2\alpha$.

Поскольку треугольник $SS'S''$ равносторонний, все эти дуги должны быть равны $120^\circ$. Получаем систему уравнений:

$2\theta = 120^\circ$

$2\alpha - 2\theta = 120^\circ$

$360^\circ - 2\alpha = 120^\circ$

Из первого уравнения находим $\theta = 60^\circ$.

Из третьего уравнения находим $2\alpha = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$, откуда $\alpha = 120^\circ$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения второму уравнению: $2(120^\circ) - 2(60^\circ) = 240^\circ - 120^\circ = 120^\circ$. Уравнение выполняется.

Таким образом, угол между зеркалами равен $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.