Номер 46, страница 64 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (нагревание, охлаждение) - номер 46, страница 64.

Условие.

46. Нагретое до 100 °С тело опустили в сосуд с водой, при этом температура воды повысилась от 20 до 30 °С. Какой станет температура воды, если в нее опустить еще одно такое же тело, нагретое до 80 °С? Теплоемкостью сосуда и тепловыми потерями пренебречь.

Решение.

Дано:

Начальная температура первого тела, $T_{т1} = 100 \space °C$
Начальная температура воды, $T_{в1} = 20 \space °C$
Равновесная температура после первого погружения, $T_{к1} = 30 \space °C$
Начальная температура второго тела, $T_{т2} = 80 \space °C$

Теплоемкостью сосуда и тепловыми потерями пренебречь.

Найти:

Конечная температура воды после второго погружения, $T_{к2}$ - ?

Решение:

Решение задачи состоит из двух этапов.

1. Первый этап: погружение первого тела.

При погружении нагретого тела в воду происходит теплообмен. В соответствии с законом сохранения энергии, количество теплоты, отданное горячим телом ($Q_{отд1}$), равно количеству теплоты, полученному холодной водой ($Q_{пол1}$), так как система является замкнутой (потерями тепла пренебрегаем).

$Q_{отд1} = Q_{пол1}$

Количество теплоты, отданное телом, вычисляется по формуле: $Q_{отд1} = C_т (T_{т1} - T_{к1})$, где $C_т$ - теплоемкость тела.

Количество теплоты, полученное водой: $Q_{пол1} = C_в (T_{к1} - T_{в1})$, где $C_в$ - теплоемкость воды.

Составим уравнение теплового баланса для первого этапа: $C_т (T_{т1} - T_{к1}) = C_в (T_{к1} - T_{в1})$

Подставим известные значения из условия задачи: $C_т (100 - 30) = C_в (30 - 20)$ $70 \cdot C_т = 10 \cdot C_в$

Из этого уравнения найдем соотношение между теплоемкостью воды и теплоемкостью тела: $\frac{C_в}{C_т} = \frac{70}{10} = 7$ $C_в = 7 C_т$

2. Второй этап: погружение второго тела.

Теперь в сосуд, в котором находятся вода и первое тело при равновесной температуре $T_{к1} = 30 \space °C$, опускают второе такое же тело (с теплоемкостью $C_т$), нагретое до температуры $T_{т2} = 80 \space °C$. Установится новая конечная температура $T_{к2}$.

В этом процессе тепло отдает второе тело, а получают его вода и первое тело.

Количество теплоты, отданное вторым телом: $Q_{отд2} = C_т (T_{т2} - T_{к2})$

Количество теплоты, полученное водой и первым телом (они нагреваются от $T_{к1}$ до $T_{к2}$): $Q_{пол2} = Q_{пол\_в} + Q_{пол\_т} = C_в (T_{к2} - T_{к1}) + C_т (T_{к2} - T_{к1})$ $Q_{пол2} = (C_в + C_т) (T_{к2} - T_{к1})$

Составим уравнение теплового баланса для второго этапа: $Q_{отд2} = Q_{пол2}$ $C_т (T_{т2} - T_{к2}) = (C_в + C_т) (T_{к2} - T_{к1})$

Подставим в это уравнение ранее найденное соотношение $C_в = 7 C_т$ и известные значения температур: $C_т (80 - T_{к2}) = (7 C_т + C_т) (T_{к2} - 30)$ $C_т (80 - T_{к2}) = 8 C_т (T_{к2} - 30)$

Поскольку теплоемкость тела $C_т$ не равна нулю, мы можем сократить на нее обе части уравнения: $80 - T_{к2} = 8 (T_{к2} - 30)$ $80 - T_{к2} = 8 T_{к2} - 240$

Решим полученное линейное уравнение относительно $T_{к2}$: $80 + 240 = 8 T_{к2} + T_{к2}$ $320 = 9 T_{к2}$ $T_{к2} = \frac{320}{9} \space °C$

Вычислим числовое значение: $T_{к2} = 35 \frac{5}{9} \space °C \approx 35.6 \space °C$

Ответ:

Температура воды станет $35 \frac{5}{9} \space °C$ (приблизительно $35.6 \space °C$).