Номер 40, страница 63 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (нагревание, охлаждение) - номер 40, страница 63.

Условие.

40. Смешали 60 кг воды при 90 °С и 150 кг воды при 23 °С, причем 0,15 части тепла, отданного горячей водой, пошло на нагревание окружающей среды. Определите конечную температуру воды.

Решение.

Дано:

Масса горячей воды, $m_1 = 60$ кг

Температура горячей воды, $t_1 = 90$ °C

Масса холодной воды, $m_2 = 150$ кг

Температура холодной воды, $t_2 = 23$ °C

Доля тепла, отданного в окружающую среду, $\eta = 0,15$

Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$

Все данные представлены в единицах, пригодных для расчетов без дополнительного перевода в СИ.

Найти:

Конечную температуру воды, $\theta$

Решение:

При смешивании горячей и холодной воды происходит теплообмен. Горячая вода отдает тепло, а холодная вода его получает. Часть тепла, отданного горячей водой, теряется, уходя на нагревание окружающей среды. Составим уравнение теплового баланса.

Количество теплоты, отданное горячей водой при остывании от температуры $t_1$ до конечной температуры $\theta$, определяется по формуле:

$Q_{отд} = c m_1 (t_1 - \theta)$

Согласно условию, 0,15 части этой теплоты ушло на нагревание окружающей среды. Количество теплоты, которое пошло на нагревание холодной воды, составляет оставшуюся часть, то есть $(1 - \eta)$ от $Q_{отд}$:

$Q_{получ} = (1 - \eta) \cdot Q_{отд}$

$Q_{получ} = (1 - 0,15) \cdot c m_1 (t_1 - \theta) = 0,85 \cdot c m_1 (t_1 - \theta)$

Это количество теплоты было получено холодной водой, которая нагрелась от температуры $t_2$ до конечной температуры $\theta$:

$Q_{получ} = c m_2 (\theta - t_2)$

Приравняем правые части двух последних уравнений, так как количество полученной холодной водой теплоты равно количеству отданной горячей водой теплоты (за вычетом потерь):

$c m_2 (\theta - t_2) = 0,85 \cdot c m_1 (t_1 - \theta)$

Удельную теплоемкость воды $\text{c}$ можно сократить, так как она присутствует в обеих частях уравнения:

$m_2 (\theta - t_2) = 0,85 \cdot m_1 (t_1 - \theta)$

Теперь раскроем скобки и решим уравнение относительно конечной температуры $\theta$:

$m_2 \theta - m_2 t_2 = 0,85 m_1 t_1 - 0,85 m_1 \theta$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\theta$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:

$m_2 \theta + 0,85 m_1 \theta = 0,85 m_1 t_1 + m_2 t_2$

Вынесем $\theta$ за скобки:

$\theta (m_2 + 0,85 m_1) = 0,85 m_1 t_1 + m_2 t_2$

Отсюда находим итоговую формулу для $\theta$:

$\theta = \frac{0,85 m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_2 + 0,85 m_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\theta = \frac{0,85 \cdot 60 \, кг \cdot 90 \, \text{°C} + 150 \, кг \cdot 23 \, \text{°C}}{150 \, кг + 0,85 \cdot 60 \, кг}$

$\theta = \frac{51 \cdot 90 + 3450}{150 + 51} = \frac{4590 + 3450}{201} = \frac{8040}{201}$

$\theta = 40 \, \text{°C}$

Ответ: конечная температура воды равна $40 \, \text{°C}$.