Номер 33, страница 62 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (нагревание, охлаждение) - номер 33, страница 62.

Условие.

33. Смешали 6 кг воды при 42 °С, 4 кг воды при 72 °С и 20 кг воды при 18 °С. Определите температуру смеси.

Решение.

Дано:

$m_1 = 6$ кг

$t_1 = 42$ °C

$m_2 = 4$ кг

$t_2 = 72$ °C

$m_3 = 20$ кг

$t_3 = 18$ °C

Перевод в систему СИ:

Массы уже даны в единицах СИ (кг). Температуру переведем в Кельвины (К). Соотношение между шкалами Цельсия и Кельвина: $T(К) = t(°C) + 273$.

$T_1 = 42 + 273 = 315$ К

$T_2 = 72 + 273 = 345$ К

$T_3 = 18 + 273 = 291$ К

Найти:

$t_{см}$ - ?

Решение:

При смешивании нескольких порций воды с разными температурами в теплоизолированном сосуде происходит теплообмен. Более горячая вода отдает тепло, а более холодная — получает. Этот процесс продолжается до тех пор, пока вся система не придет в состояние теплового равновесия, то есть пока температура всей воды не станет одинаковой.

Согласно закону сохранения энергии, в замкнутой системе алгебраическая сумма количеств теплоты, отданных и полученных всеми телами системы, равна нулю. Это является основой уравнения теплового баланса:

$\sum Q_i = 0$

Количество теплоты, которое получает или отдает каждая порция воды, рассчитывается по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot (t_{конечная} - t_{начальная})$

где $\text{c}$ — удельная теплоемкость воды (const), $\text{m}$ — масса порции воды, $t_{конечная}$ и $t_{начальная}$ — конечная и начальная температуры.

Пусть $t_{см}$ — искомая конечная температура смеси. Составим уравнение теплового баланса для трех порций воды:

$Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0$

$c \cdot m_1 \cdot (t_{см} - t_1) + c \cdot m_2 \cdot (t_{см} - t_2) + c \cdot m_3 \cdot (t_{см} - t_3) = 0$

Так как вещество одно и то же (вода), удельную теплоемкость $\text{c}$ можно вынести за скобки и сократить, поскольку она не равна нулю:

$m_1(t_{см} - t_1) + m_2(t_{см} - t_2) + m_3(t_{см} - t_3) = 0$

Теперь раскроем скобки и выразим из полученного уравнения конечную температуру $t_{см}$:

$m_1 t_{см} - m_1 t_1 + m_2 t_{см} - m_2 t_2 + m_3 t_{см} - m_3 t_3 = 0$

Сгруппируем слагаемые с $t_{см}$ в левой части, а остальные перенесем в правую:

$t_{см}(m_1 + m_2 + m_3) = m_1 t_1 + m_2 t_2 + m_3 t_3$

Отсюда находим формулу для расчета температуры смеси:

$t_{см} = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2 + m_3 t_3}{m_1 + m_2 + m_3}$

Эта формула показывает, что конечная температура является средневзвешенным значением начальных температур, где в качестве весов выступают массы.

Подставим в формулу числовые значения из условия задачи:

$t_{см} = \frac{6 \text{ кг} \cdot 42 \text{ °C} + 4 \text{ кг} \cdot 72 \text{ °C} + 20 \text{ кг} \cdot 18 \text{ °C}}{6 \text{ кг} + 4 \text{ кг} + 20 \text{ кг}}$

$t_{см} = \frac{252 + 288 + 360}{30} \text{ °C}$

$t_{см} = \frac{900}{30} \text{ °C}$

$t_{см} = 30 \text{ °C}$

Ответ: 30 °C.