Номер 27, страница 61 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Нагревание, охлаждение - номер 27, страница 61.

Условие.

27. Установка, выделяющая тепловую мощность $50 \text{ кВт}$, охлаждается проточной водой, текущей по спиральной трубе площадью сечения $177 \text{ мм}^2$. При установившемся режиме проточная вода нагревается на $25 \text{ °С}$. Определите скорость течения воды.

Решение.

Дано:

Тепловая мощность, $P = 50 \text{ кВт}$

Площадь сечения трубы, $S = 177 \text{ мм}^2$

Нагрев воды, $\Delta t = 25 \text{ °C}$

Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Плотность воды, $\\rho= 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Перевод в систему СИ:

$P = 50 \text{ кВт} = 50 \cdot 10^3 \text{ Вт} = 50000 \text{ Вт}$

$S = 177 \text{ мм}^2 = 177 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 177 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 1.77 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Скорость течения воды, $\text{v}$.

Решение:

В установившемся режиме вся тепловая мощность $\text{P}$, выделяемая установкой, поглощается протекающей водой. Мощность — это количество теплоты $\text{Q}$, переданное воде за единицу времени $\tau$:

$P = \frac{Q}{\tau}$

Количество теплоты $\text{Q}$, необходимое для нагревания массы воды $\text{m}$ на температуру $\Delta t$, определяется по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot \Delta t$

где $\text{c}$ — удельная теплоемкость воды.

Масса воды $\text{m}$, которая протекает через сечение трубы $\text{S}$ со скоростью $\text{v}$ за время $\tau$, может быть выражена через объем $\text{V}$ и плотность $\rho$:

$m = \\rho\cdot V$

Объем воды, в свою очередь, равен произведению площади сечения трубы на расстояние $\text{l}$, которое проходит вода за время $\tau$:

$V = S \cdot l = S \cdot v \cdot \tau$

Подставим выражение для объема в формулу для массы:

$m = \\rho\cdot S \cdot v \cdot \tau$

Теперь подставим полученное выражение для массы в формулу для количества теплоты, а затем в формулу для мощности:

$P = \frac{c \cdot (\\rho\cdot S \cdot v \cdot \tau) \cdot \Delta t}{\tau}$

Время $\tau$ в числителе и знаменателе сокращается, и мы получаем выражение для мощности:

$P = c \cdot \\rho\cdot S \cdot v \cdot \Delta t$

Из этой формулы выразим искомую скорость течения воды $\text{v}$:

$v = \frac{P}{c \cdot \\rho\cdot S \cdot \Delta t}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v = \frac{50000 \text{ Вт}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1.77 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot 25 \text{ °C}}$

$v = \frac{50000}{18585} \approx 2.69 \text{ м/с}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи $50$ кВт и $25$ °C), получаем:

$v \approx 2.7 \text{ м/с}$

Ответ: скорость течения воды составляет примерно 2.7 м/с.