Номер 23, страница 61 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Нагревание, охлаждение - номер 23, страница 61.

Условие.

23. Стальной осколок, падая с высоты 500 м, имел у поверхности скорость 50 м/с. На сколько повысилась температура осколка, если считать, что вся работа сопротивления воздуха пошла на его нагревание?

Решение.

Дано:

$h = 500$ м (высота)

$v = 50$ м/с (скорость у поверхности)

$c = 500 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$ (удельная теплоемкость стали, справочное значение)

$g \approx 9.8 \frac{м}{с^2}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\Delta T$ — изменение температуры осколка.

Решение:

При падении стального осколка его полная механическая энергия уменьшается из-за работы силы сопротивления воздуха. Согласно закону сохранения энергии, изменение полной механической энергии тела равно работе, совершенной силами сопротивления $A_{сопр}$.

В начальный момент времени (на высоте $\text{h}$), предполагая, что осколок начал падение из состояния покоя ($v_0 = 0$), его полная механическая энергия состояла только из потенциальной энергии:

$E_1 = E_p = mgh$

где $\text{m}$ — масса осколка.

В конечный момент времени (у поверхности земли, $h=0$), полная механическая энергия осколка состояла только из кинетической энергии:

$E_2 = E_k = \frac{mv^2}{2}$

Изменение механической энергии равно:

$\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{mv^2}{2} - mgh$

Это изменение энергии произошло за счет работы силы сопротивления воздуха. Работа этой силы отрицательна, так как она направлена против движения. Энергия, которая перешла в теплоту $\text{Q}$ из-за трения о воздух, равна модулю работы силы сопротивления:

$Q = |A_{сопр}| = |E_2 - E_1| = mgh - \frac{mv^2}{2}$

По условию задачи, вся эта выделившаяся теплота пошла на нагревание осколка. Количество теплоты $\text{Q}$, необходимое для нагревания тела, определяется формулой:

$Q = c \cdot m \cdot \Delta T$

где $\text{c}$ — удельная теплоемкость стали, а $\Delta T$ — искомое повышение температуры.

Приравняем два выражения для $\text{Q}$:

$c \cdot m \cdot \Delta T = mgh - \frac{mv^2}{2}$

Массу осколка $\text{m}$ можно сократить в обеих частях уравнения:

$c \cdot \Delta T = gh - \frac{v^2}{2}$

Отсюда выражаем искомое изменение температуры $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{gh - \frac{v^2}{2}}{c}$

Подставим числовые значения в формулу:

$\Delta T = \frac{9.8 \frac{м}{с^2} \cdot 500 \text{ м} - \frac{(50 \frac{м}{с})^2}{2}}{500 \frac{Дж}{кг \cdot °С}} = \frac{4900 \frac{м^2}{с^2} - \frac{2500 \frac{м^2}{с^2}}{2}}{500 \frac{Дж}{кг \cdot °С}}$

$\Delta T = \frac{4900 - 1250}{500} \frac{Дж/кг}{Дж/(кг \cdot °С)} = \frac{3650}{500}$ °С

$\Delta T = 7.3$ °С

Ответ: температура осколка повысилась на 7.3 °С.