Номер 30, страница 62 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (нагревание, охлаждение) - номер 30, страница 62.

Условие.

30. Паровой котел содержит 40 м$^3$ воды при температуре 225 $^\circ$С. Какой объем воды при 9 $^\circ$С был добавлен, если установилась температура 200 $^\circ$С?

Решение.

Дано:

Объем горячей воды в котле, $V_1 = 40 \text{ м}^3$

Начальная температура горячей воды, $t_1 = 225^\circ\text{С}$

Температура добавленной холодной воды, $t_2 = 9^\circ\text{С}$

Конечная температура смеси, $t = 200^\circ\text{С}$

Найти:

Объем добавленной холодной воды, $V_2$ - ?

Решение:

Эта задача решается с помощью уравнения теплового баланса. При смешивании горячей и холодной воды, количество теплоты, которое отдает горячая вода, равно количеству теплоты, которое получает холодная вода. Потерями тепла в окружающую среду пренебрегаем.

Количество теплоты, отданное горячей водой при остывании, вычисляется по формуле:

$Q_{отд} = c \cdot m_1 \cdot (t_1 - t)$

Количество теплоты, полученное холодной водой при нагревании:

$Q_{пол} = c \cdot m_2 \cdot (t - t_2)$

Здесь $\text{c}$ — удельная теплоемкость воды, $m_1$ и $m_2$ — массы горячей и холодной воды соответственно.

Составим уравнение теплового баланса:

$Q_{отд} = Q_{пол}$

$c \cdot m_1 \cdot (t_1 - t) = c \cdot m_2 \cdot (t - t_2)$

Так как удельная теплоемкость воды $\text{c}$ одинакова для обоих случаев, ее можно сократить:

$m_1 \cdot (t_1 - t) = m_2 \cdot (t - t_2)$

Массу воды можно выразить через ее объем $\text{V}$ и плотность $\rho$ по формуле $m = \\rho\cdot V$. Подставим это в наше уравнение:

$\rho_1 \cdot V_1 \cdot (t_1 - t) = \rho_2 \cdot V_2 \cdot (t - t_2)$

Для упрощения расчетов примем, что плотность воды не зависит от температуры, то есть $\rho_1 \approx \rho_2$. Тогда плотность также можно сократить:

$V_1 \cdot (t_1 - t) = V_2 \cdot (t - t_2)$

Теперь выразим из этого уравнения искомый объем холодной воды $V_2$:

$V_2 = V_1 \cdot \frac{t_1 - t}{t - t_2}$

Подставим известные числовые значения:

$V_2 = 40 \text{ м}^3 \cdot \frac{225^\circ\text{С} - 200^\circ\text{С}}{200^\circ\text{С} - 9^\circ\text{С}}$

$V_2 = 40 \cdot \frac{25}{191}$

$V_2 = \frac{1000}{191} \approx 5.2356 \text{ м}^3$

Округлим полученный результат до сотых.

Ответ: объем добавленной воды составляет примерно $5.24 \text{ м}^3$.