Номер 32, страница 62 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (нагревание, охлаждение) - номер 32, страница 62.

Условие.

32. В ванну налили и смешали 50 л воды при температуре 15 °С и 30 л воды при температуре 75 °С. Какой станет температура воды в ванне, если потерями тепла пренебречь?

Решение.

Дано:

$V_1 = 50$ л (объем холодной воды)

$t_1 = 15$ °C (температура холодной воды)

$V_2 = 30$ л (объем горячей воды)

$t_2 = 75$ °C (температура горячей воды)

$c \approx 4200$ Дж/(кг·°C) (удельная теплоемкость воды)

$\\rho\approx 1000$ кг/м³ (плотность воды)

Перевод в систему СИ:

$V_1 = 50 \text{ л} = 50 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.05 \text{ м}^3$

$V_2 = 30 \text{ л} = 30 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.03 \text{ м}^3$

Температуру можно оставить в градусах Цельсия (°C), так как в уравнении теплового баланса используется разность температур, которая одинакова в °C и Кельвинах (K).

Найти:

$\text{t}$ — конечная температура воды.

Решение:

При смешивании горячей и холодной воды происходит теплообмен. Согласно закону сохранения энергии, если потерями тепла в окружающую среду можно пренебречь, то количество теплоты, отданное горячей водой, равно количеству теплоты, полученному холодной водой. Это описывается уравнением теплового баланса:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Количество теплоты ($\text{Q}$), отданное горячей водой при остывании от температуры $t_2$ до конечной температуры $\text{t}$, равно:

$Q_{отданное} = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$

Количество теплоты ($\text{Q}$), полученное холодной водой при нагревании от температуры $t_1$ до конечной температуры $\text{t}$, равно:

$Q_{полученное} = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$

Здесь $\text{c}$ — удельная теплоемкость воды, $m_1$ и $m_2$ — массы холодной и горячей воды соответственно.

Приравниваем правые части уравнений:

$c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t) = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$

Массу воды можно выразить через ее объем $\text{V}$ и плотность $\rho$ по формуле $m = \\rho\cdot V$.

$m_1 = \\rho\cdot V_1$

$m_2 = \\rho\cdot V_2$

Подставим выражения для масс в уравнение теплового баланса:

$c \cdot \\rho\cdot V_2 \cdot (t_2 - t) = c \cdot \\rho\cdot V_1 \cdot (t - t_1)$

Поскольку удельная теплоемкость $\text{c}$ и плотность $\rho$ для горячей и холодной воды одинаковы, их можно сократить в обеих частях уравнения:

$V_2 \cdot (t_2 - t) = V_1 \cdot (t - t_1)$

Теперь решим это уравнение относительно искомой конечной температуры $\text{t}$. Раскроем скобки:

$V_2 t_2 - V_2 t = V_1 t - V_1 t_1$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\text{t}$:

$V_1 t_1 + V_2 t_2 = V_1 t + V_2 t$

$V_1 t_1 + V_2 t_2 = t \cdot (V_1 + V_2)$

Выразим $\text{t}$:

$t = \frac{V_1 t_1 + V_2 t_2}{V_1 + V_2}$

Подставим числовые значения. Объемы можно использовать в литрах, так как единицы измерения в числителе и знаменателе сократятся.

$t = \frac{50 \text{ л} \cdot 15 \text{ °C} + 30 \text{ л} \cdot 75 \text{ °C}}{50 \text{ л} + 30 \text{ л}}$

$t = \frac{750 + 2250}{80} \text{ °C}$

$t = \frac{3000}{80} \text{ °C}$

$t = 37.5 \text{ °C}$

Ответ: температура воды в ванне станет 37.5 °C.