Номер 39, страница 63 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (нагревание, охлаждение) - номер 39, страница 63.

Условие.

39. Смешали 24 л воды при 12 °С и 40 л воды при 80 °С. Определите установившуюся температуру, если во время смешивания тепловые потери составили 420 кДж.

Решение.

Дано:

$V_1 = 24 \text{ л}$ (объем холодной воды)

$t_1 = 12 \text{ °C}$ (температура холодной воды)

$V_2 = 40 \text{ л}$ (объем горячей воды)

$t_2 = 80 \text{ °C}$ (температура горячей воды)

$Q_{потери} = 420 \text{ кДж}$ (тепловые потери)

$\rho_{воды} \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$c_{воды} = 4200 \text{ Дж/(кг·°C)}$ (удельная теплоемкость воды)

Перевод в систему СИ:

$V_1 = 24 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$V_2 = 40 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$Q_{потери} = 420 \cdot 10^3 \text{ Дж}$

Найти:

$t_{f}$ - установившаяся температура смеси.

Решение:

При смешивании горячая вода отдает тепло ($Q_{отд}$), а холодная вода его получает ($Q_{получ}$). Часть тепла, отданного горячей водой, теряется в окружающую среду ($Q_{потери}$). Согласно закону сохранения энергии, можно составить уравнение теплового баланса:

$Q_{отд} = Q_{получ} + Q_{потери}$

Количество теплоты, отданное или полученное телом при изменении температуры, вычисляется по формуле $Q = c \cdot m \cdot \Delta t$.

Для горячей воды: $Q_{отд} = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t_f)$

Для холодной воды: $Q_{получ} = c \cdot m_1 \cdot (t_f - t_1)$

где $\text{c}$ - удельная теплоемкость воды, $m_1$ и $m_2$ - массы холодной и горячей воды, $t_1$ и $t_2$ - их начальные температуры, а $t_f$ - конечная (установившаяся) температура смеси.

Подставим выражения для $Q_{отд}$ и $Q_{получ}$ в уравнение теплового баланса:

$c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t_f) = c \cdot m_1 \cdot (t_f - t_1) + Q_{потери}$

Найдем массы воды, используя формулу $m = \\rho\cdot V$:

$m_1 = \\rho\cdot V_1 = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 24 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 24 \text{ кг}$

$m_2 = \\rho\cdot V_2 = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 40 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 40 \text{ кг}$

Подставим числовые значения в уравнение:

$4200 \cdot 40 \cdot (80 - t_f) = 4200 \cdot 24 \cdot (t_f - 12) + 420000$

Разделим все члены уравнения на 4200 для упрощения:

$40 \cdot (80 - t_f) = 24 \cdot (t_f - 12) + 100$

Раскроем скобки:

$3200 - 40t_f = 24t_f - 288 + 100$

$3200 - 40t_f = 24t_f - 188$

Сгруппируем члены с $t_f$ и постоянные:

$3200 + 188 = 24t_f + 40t_f$

$3388 = 64t_f$

Найдем конечную температуру:

$t_f = \frac{3388}{64} = 52.9375 \text{ °C}$

Округлив результат до сотых, получаем $52,94 \text{ °C}$.

Ответ: установившаяся температура равна $52,94 \text{ °C}$.