Номер 42, страница 63 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (нагревание, охлаждение) - номер 42, страница 63.

Условие.

42. Для подготовки бассейна вместимостью 600 л смешали холодную воду температурой $10^\circ C$ с горячей водой температурой $60^\circ C$. Какие объемы холодной и горячей воды надо взять, чтобы установилась температура $40^\circ C$? Начальная температура материала бассейна $20^\circ C$, его масса 1 т, удельная теплоемкость материала бассейна $500 \text{ Дж}/(\text{кг} \cdot ^\circ C)$.

Решение.

Дано:

$V_{общ} = 600 \text{ л}$

$t_x = 10 \text{ °C}$

$t_г = 60 \text{ °C}$

$\theta = 40 \text{ °C}$

$t_б = 20 \text{ °C}$

$m_б = 1 \text{ т}$

$c_б = 500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Примем удельная теплоемкость воды $c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Примем плотность воды $\rho_в = 1 \frac{\text{кг}}{\text{л}}$

Перевод в систему СИ:

$V_{общ} = 600 \text{ л} = 0.6 \text{ м}^3$

$m_б = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

Найти:

$V_x - ?$

$V_г - ?$

Решение:

Запишем уравнение теплового баланса. Количество теплоты, отданное горячей водой, равно сумме количества теплоты, полученного холодной водой и бассейном. Потери тепла в окружающую среду не учитываем.

Количество теплоты, отданное горячей водой:

$Q_{отд} = c_в \cdot m_г \cdot (t_г - \theta)$

Количество теплоты, полученное холодной водой:

$Q_{пол_1} = c_в \cdot m_x \cdot (\theta - t_x)$

Количество теплоты, полученное материалом бассейна:

$Q_{пол_2} = c_б \cdot m_б \cdot (\theta - t_б)$

Уравнение теплового баланса:

$Q_{отд} = Q_{пол_1} + Q_{пол_2}$

$c_в \cdot m_г \cdot (t_г - \theta) = c_в \cdot m_x \cdot (\theta - t_x) + c_б \cdot m_б \cdot (\theta - t_б)$

В этом уравнении две неизвестные массы: $m_г$ (масса горячей воды) и $m_x$ (масса холодной воды). Нам известно, что общий объем воды составляет 600 л. Так как плотность воды равна 1 кг/л, общая масса воды составляет:

$m_{общ} = V_{общ} \cdot \rho_в = 600 \text{ л} \cdot 1 \frac{\text{кг}}{\text{л}} = 600 \text{ кг}$

Следовательно, $m_x + m_г = 600$. Выразим массу холодной воды: $m_x = 600 - m_г$.

Подставим это выражение в уравнение теплового баланса:

$c_в \cdot m_г \cdot (t_г - \theta) = c_в \cdot (600 - m_г) \cdot (\theta - t_x) + c_б \cdot m_б \cdot (\theta - t_б)$

Подставим числовые значения:

$4200 \cdot m_г \cdot (60 - 40) = 4200 \cdot (600 - m_г) \cdot (40 - 10) + 500 \cdot 1000 \cdot (40 - 20)$

$4200 \cdot m_г \cdot 20 = 4200 \cdot (600 - m_г) \cdot 30 + 500000 \cdot 20$

$84000 \cdot m_г = 126000 \cdot (600 - m_г) + 10000000$

Для удобства разделим все уравнение на 1000:

$84 \cdot m_г = 126 \cdot (600 - m_г) + 10000$

$84 \cdot m_г = 126 \cdot 600 - 126 \cdot m_г + 10000$

$84 \cdot m_г = 75600 - 126 \cdot m_г + 10000$

$84 \cdot m_г + 126 \cdot m_г = 75600 + 10000$

$210 \cdot m_г = 85600$

$m_г = \frac{85600}{210} = \frac{8560}{21} \approx 407.6 \text{ кг}$

Теперь найдем массу холодной воды:

$m_x = 600 - m_г = 600 - 407.6 = 192.4 \text{ кг}$

Зная массы и плотность воды, найдем объемы:

$V_г = \frac{m_г}{\rho_в} = \frac{407.6 \text{ кг}}{1 \text{ кг/л}} = 407.6 \text{ л}$

$V_x = \frac{m_x}{\rho_в} = \frac{192.4 \text{ кг}}{1 \text{ кг/л}} = 192.4 \text{ л}$

Ответ: необходимо взять 192,4 л холодной воды и 407,6 л горячей воды.