Номер 48, страница 64 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (нагревание, охлаждение) - номер 48, страница 64.

Условие.

48. Имеются два теплоизолированных сосуда. В первом из них находится 5 л воды при температуре $60^\circ \text{C}$, во втором – 1 л воды при температуре $20^\circ \text{C}$. Часть воды перелили из первого сосуда во второй. После установления теплового равновесия во второй сосуд из первого отлили столько воды, чтобы объемы воды в сосудах стали равны первоначальным объемам. После этих операций температура воды в первом сосуде стала равна $59^\circ \text{C}$. Сколько воды перелили из первого сосуда во второй и обратно?

Решение.

Дано:

$V_1 = 5$ л (объем воды в первом сосуде)

$t_1 = 60$ °C (начальная температура воды в первом сосуде)

$V_2 = 1$ л (объем воды во втором сосуде)

$t_2 = 20$ °C (начальная температура воды во втором сосуде)

$t_{1f} = 59$ °C (конечная температура воды в первом сосуде)

$V_1 = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$t_1 = 333,15 \text{ К}$
$V_2 = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$t_2 = 293,15 \text{ К}$
$t_{1f} = 332,15 \text{ К}$

Найти:

$\Delta V$ - объем воды, который перелили из первого сосуда во второй и обратно.

Решение:

Поскольку в задаче рассматривается только вода, а изменениями плотности и теплоемкости при изменении температуры можно пренебречь, для удобства будем вести расчеты в литрах (л) и градусах Цельсия (°C). Обозначим искомый объем воды, который переливали, как $\Delta V$.

1. Первый этап: переливание из первого сосуда во второй. Из первого сосуда во второй переливают объем воды $\Delta V$ с температурой $t_1$. Во втором сосуде смешивается объем $V_2$ при температуре $t_2$ и объем $\Delta V$ при температуре $t_1$. Пусть новая температура во втором сосуде после установления теплового равновесия будет $t_{2'}$. Составим уравнение теплового баланса для второго сосуда. Количество теплоты, отданное горячей водой, равно количеству теплоты, полученному холодной водой: $Q_{отданное} = c \cdot \\rho\cdot \Delta V \cdot (t_1 - t_{2'})$ $Q_{полученное} = c \cdot \\rho\cdot V_2 \cdot (t_{2'} - t_2)$ $c \\rho\Delta V (t_1 - t_{2'}) = c \\rhoV_2 (t_{2'} - t_2)$ Сократив удельную теплоемкость $\text{c}$ и плотность $\rho$, получим: $\Delta V (t_1 - t_{2'}) = V_2 (t_{2'} - t_2)$ Подставим известные значения $t_1 = 60$ °C, $V_2 = 1$ л, $t_2 = 20$ °C: $\Delta V (60 - t_{2'}) = 1 \cdot (t_{2'} - 20)$ Выразим $t_{2'}$: $60\Delta V - \Delta V t_{2'} = t_{2'} - 20$ $60\Delta V + 20 = t_{2'}(1 + \Delta V)$ $t_{2'} = \frac{60\Delta V + 20}{1 + \Delta V}$

2. Второй этап: переливание из второго сосуда в первый. Из второго сосуда обратно в первый переливают такой же объем воды $\Delta V$, но уже с температурой $t_{2'}$. В первом сосуде остается объем $(V_1 - \Delta V)$ при температуре $t_1$. После смешения в первом сосуде устанавливается конечная температура $t_{1f} = 59$ °C. Составим уравнение теплового баланса для первого сосуда. Количество теплоты, отданное оставшейся горячей водой, равно количеству теплоты, полученному более холодной водой из второго сосуда: $Q_{отданное} = c \\rho(V_1 - \Delta V) (t_1 - t_{1f})$ $Q_{полученное} = c \\rho\Delta V (t_{1f} - t_{2'})$ $(V_1 - \Delta V) (t_1 - t_{1f}) = \Delta V (t_{1f} - t_{2'})$ Подставим известные значения $V_1 = 5$ л, $t_1 = 60$ °C, $t_{1f} = 59$ °C: $(5 - \Delta V) (60 - 59) = \Delta V (59 - t_{2'})$ $(5 - \Delta V) \cdot 1 = 59\Delta V - \Delta V t_{2'}$ $5 - \Delta V = 59\Delta V - \Delta V t_{2'}$ $5 = 60\Delta V - \Delta V t_{2'}$ $5 = \Delta V(60 - t_{2'})$

3. Решение системы уравнений. Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $\Delta V$ и $t_{2'}$: 1) $t_{2'} = \frac{60\Delta V + 20}{1 + \Delta V}$ 2) $5 = \Delta V(60 - t_{2'})$ Из второго уравнения выразим $t_{2'}$: $t_{2'} = 60 - \frac{5}{\Delta V}$ Теперь приравняем правые части выражений для $t_{2'}$: $60 - \frac{5}{\Delta V} = \frac{60\Delta V + 20}{1 + \Delta V}$ Решим полученное уравнение относительно $\Delta V$: $(60 - \frac{5}{\Delta V})(1 + \Delta V) = 60\Delta V + 20$ $60 + 60\Delta V - \frac{5}{\Delta V} - 5 = 60\Delta V + 20$ $55 + 60\Delta V - \frac{5}{\Delta V} = 60\Delta V + 20$ Вычтем $60\Delta V$ из обеих частей уравнения: $55 - \frac{5}{\Delta V} = 20$ $55 - 20 = \frac{5}{\Delta V}$ $35 = \frac{5}{\Delta V}$ $\Delta V = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$

Ответ: из первого сосуда во второй и обратно перелили $\frac{1}{7}$ л воды (приблизительно 0,143 л).