Номер 45, страница 64 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (нагревание, охлаждение) - номер 45, страница 64.

Условие.

45. После опускания в сосуд с водой, имеющей температуру $10°C$, металлического тела, нагретого до $100°C$, там установилась общая температура $40°C$. Какой станет температура воды, если, не вынимая первого тела, в нее опустить еще одно такое же тело, нагретое до $100°C$? Потерями теплоты на нагревание сосуда пренебречь.

Решение.

Дано:

Начальная температура воды, $t_в = 10 \text{ °C}$

Начальная температура первого металлического тела, $t_{т1} = 100 \text{ °C}$

Общая температура после опускания первого тела, $\theta_1 = 40 \text{ °C}$

Начальная температура второго такого же тела, $t_{т2} = 100 \text{ °C}$

Найти:

Конечная температура системы, $\theta_2$

Решение:

Решение задачи можно разделить на два этапа.

На первом этапе рассматривается теплообмен между первым металлическим телом и водой. Так как потерями теплоты на нагревание сосуда пренебрегают, то количество теплоты, отданное горячим телом, равно количеству теплоты, полученному водой. Составим уравнение теплового баланса:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Пусть $C_в = c_в m_в$ — теплоемкость воды, а $C_т = c_т m_т$ — теплоемкость металлического тела. Тогда уравнение примет вид:

$C_т (t_{т1} - \theta_1) = C_в (\theta_1 - t_в)$

Подставим известные значения температур:

$C_т (100 - 40) = C_в (40 - 10)$

$60 \cdot C_т = 30 \cdot C_в$

Из этого соотношения мы можем выразить теплоемкость воды через теплоемкость тела:

$C_в = \frac{60}{30} C_т = 2 C_т$

На втором этапе в систему, состоящую из воды и первого тела при температуре $\theta_1 = 40 \text{ °C}$, опускают второе такое же металлическое тело, нагретое до $t_{т2} = 100 \text{ °C}$. Снова составляем уравнение теплового баланса. Теперь тепло отдает второе тело, а получают его вода и первое тело. Новая конечная температура системы — $\theta_2$.

$Q'_{отданное} = Q'_{полученное}$

Количество отданной теплоты вторым телом:

$Q'_{отданное} = C_т (t_{т2} - \theta_2)$

Количество полученной теплоты водой и первым телом:

$Q'_{полученное} = (C_в + C_т) (\theta_2 - \theta_1)$

Приравниваем эти выражения:

$C_т (t_{т2} - \theta_2) = (C_в + C_т) (\theta_2 - \theta_1)$

Подставим ранее найденное соотношение $C_в = 2 C_т$ и известные значения температур:

$C_т (100 - \theta_2) = (2 C_т + C_т) (\theta_2 - 40)$

$C_т (100 - \theta_2) = 3 C_т (\theta_2 - 40)$

Сократим обе части уравнения на $C_т$ (так как теплоемкость тела не равна нулю):

$100 - \theta_2 = 3 (\theta_2 - 40)$

Решим полученное уравнение относительно $\theta_2$:

$100 - \theta_2 = 3\theta_2 - 120$

$100 + 120 = 3\theta_2 + \theta_2$

$220 = 4\theta_2$

$\theta_2 = \frac{220}{4} = 55 \text{ °C}$

Ответ: 55 °C.