Номер 38, страница 63 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (нагревание, охлаждение) - номер 38, страница 63.

Условие.

38. Определите температуру воды в сосуде, если в него налили одну кружку воды при температуре $40^\circ C$, четыре кружки воды при температуре $30^\circ C$ и пять кружек воды при температуре $20^\circ C$. Потери теплоты не учитывать.

Решение.

Дано:

Порция 1: $n_1 = 1$ кружка воды, температура $t_1 = 40$ °C.

Порция 2: $n_2 = 4$ кружки воды, температура $t_2 = 30$ °C.

Порция 3: $n_3 = 5$ кружек воды, температура $t_3 = 20$ °C.

Пусть масса воды в одной кружке равна $\text{m}$. Тогда массы порций воды равны:

$m_1 = m$

$m_2 = 4m$

$m_3 = 5m$

Удельная теплоемкость воды — $\text{c}$.

Потери теплоты отсутствуют.

Перевод температур в систему СИ (Кельвины):
$T_1 = 40 + 273,15 = 313,15$ К
$T_2 = 30 + 273,15 = 303,15$ К
$T_3 = 20 + 273,15 = 293,15$ К

Найти:

Установившуюся температуру воды $\text{t}$.

Решение:

Задача решается с помощью уравнения теплового баланса. Так как система теплоизолирована (потери теплоты не учитываются), алгебраическая сумма количеств теплоты, полученных и отданных всеми телами в системе, равна нулю.

Количество теплоты $\text{Q}$, которое получает или отдает тело, вычисляется по формуле: $Q = c \cdot m \cdot \Delta t$, где $\text{c}$ — удельная теплоемкость, $\text{m}$ — масса, $\Delta t = t_{конечная} - t_{начальная}$ — изменение температуры.

Пусть $\text{t}$ — конечная температура смеси. Запишем уравнение теплового баланса для трех порций воды:

$Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0$

$c \cdot m_1 \cdot (t - t_1) + c \cdot m_2 \cdot (t - t_2) + c \cdot m_3 \cdot (t - t_3) = 0$

Подставим массы порций воды, выраженные через массу одной кружки $\text{m}$:

$c \cdot m \cdot (t - t_1) + c \cdot 4m \cdot (t - t_2) + c \cdot 5m \cdot (t - t_3) = 0$

Разделим обе части уравнения на $c \cdot m$, так как эти величины не равны нулю:

$(t - t_1) + 4(t - t_2) + 5(t - t_3) = 0$

Так как в уравнение входят разности температур, расчет можно вести в градусах Цельсия, потому что изменение температуры на 1 °C равно изменению на 1 K. Подставим числовые значения температур в °C:

$(t - 40) + 4(t - 30) + 5(t - 20) = 0$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\text{t}$:

$t - 40 + 4t - 120 + 5t - 100 = 0$

Сгруппируем слагаемые с $\text{t}$ и числовые слагаемые:

$(1 + 4 + 5)t - (40 + 120 + 100) = 0$

$10t - 260 = 0$

$10t = 260$

$t = \frac{260}{10} = 26$ °C

Таким образом, конечная температура воды в сосуде составит 26 °C.

Эту же задачу можно решить, найдя температуру смеси как средневзвешенное значение температур компонентов, где в качестве "весов" выступают их массы:

$t = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2 + m_3 t_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{m \cdot 40 + 4m \cdot 30 + 5m \cdot 20}{m + 4m + 5m}$

$t = \frac{m(1 \cdot 40 + 4 \cdot 30 + 5 \cdot 20)}{m(1 + 4 + 5)} = \frac{40 + 120 + 100}{10} = \frac{260}{10} = 26$ °C

Ответ: 26 °C.