Номер 36, страница 63 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (нагревание, охлаждение) - номер 36, страница 63.

Условие.

36. Вода может находиться при температурах меньших $0~^\circ\text{C}$ и больших $100~^\circ\text{C}$. В калориметре с теплоемкостью $1,67~\text{кДж}/^\circ\text{C}$ находится $1~\text{кг}$ переохлажденной воды при температуре $-10~^\circ\text{C}$. Какая температура установится в калориметре, если в него влить $170~\text{г}$ воды, перегретой до $120~^\circ\text{C}$?

Решение.

Дано:

Теплоемкость калориметра, $C = 1,67$ кДж/°С

Масса переохлажденной воды, $m_1 = 1$ кг

Начальная температура переохлажденной воды и калориметра, $t_1 = -10$ °С

Масса перегретой воды, $m_2 = 170$ г

Начальная температура перегретой воды, $t_2 = 120$ °С

Перевод в систему СИ:

$C = 1,67 \cdot 10^3$ Дж/°С

$m_2 = 0,17$ кг

Найти:

Конечная температура в калориметре, $\theta$

Решение:

Поскольку в калориметр с переохлажденной водой вливают перегретую воду, произойдет теплообмен. Система является изолированной, поэтому суммарное количество теплоты, отданное и полученное всеми телами в системе, равно нулю. Запишем уравнение теплового баланса.

Так как начальные состояния воды — переохлажденная и перегретая жидкость, сперва необходимо проверить, произойдет ли фазовый переход (замерзание или кипение) или же конечным состоянием будет вода в жидкой фазе при температуре между 0 °С и 100 °С.

Примем удельную теплоемкость воды $c_w = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$.

1. Посчитаем, сколько теплоты нужно, чтобы нагреть калориметр и холодную воду до 0 °С:

$Q_1 = (c_w m_1 + C)(0 - t_1) = (4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 1 \text{ кг} + 1670 \frac{Дж}{\text{°C}}) \cdot (0 - (-10)) \text{°C} = (4200 + 1670) \cdot 10 = 58700 \text{ Дж}$.

2. Посчитаем, сколько теплоты выделится при охлаждении горячей воды до 0 °С:

$Q_2 = c_w m_2 (t_2 - 0) = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 0,17 \text{ кг} \cdot (120 - 0) \text{°C} = 85680 \text{ Дж}$.

Поскольку $Q_2 > Q_1$ ($85680 \text{ Дж} > 58700 \text{ Дж}$), теплоты, выделяемой горячей водой, достаточно, чтобы нагреть холодную воду и калориметр до 0 °С, и еще останется избыток тепла. Следовательно, вся вода не замерзнет, и конечная температура будет выше 0 °С.

3. Проверим, не достигнет ли система температуры кипения (100 °С). Посчитаем, сколько теплоты выделится при охлаждении горячей воды до 100 °С:

$Q_3 = c_w m_2 (t_2 - 100) = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 0,17 \text{ кг} \cdot (120 - 100) \text{°C} = 14280 \text{ Дж}$.

4. Посчитаем, сколько теплоты нужно, чтобы нагреть калориметр и холодную воду до 100 °С:

$Q_4 = (c_w m_1 + C)(100 - t_1) = (5870 \frac{Дж}{\text{°C}}) \cdot (100 - (-10)) \text{°C} = 5870 \cdot 110 = 645700 \text{ Дж}$.

Поскольку $Q_3 < Q_4$ ($14280 \text{ Дж} < 645700 \text{ Дж}$), теплоты, отданной горячей водой при охлаждении до 100 °С, недостаточно для нагрева холодной части системы до 100 °С. Следовательно, кипения не произойдет, и конечная температура будет ниже 100 °С.

Таким образом, конечным состоянием системы будет жидкая вода при температуре $\theta$, где $0 \text{°C} < \theta < 100 \text{°C}$.

Составим уравнение теплового баланса. Количество теплоты, отданное горячей водой, равно количеству теплоты, полученному холодной водой и калориметром.

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

$c_w m_2 (t_2 - \theta) = (c_w m_1 + C)(\theta - t_1)$

Раскроем скобки и выразим конечную температуру $\theta$:

$c_w m_2 t_2 - c_w m_2 \theta = c_w m_1 \theta - c_w m_1 t_1 + C\theta - C t_1$

$c_w m_2 t_2 + c_w m_1 t_1 + C t_1 = c_w m_1 \theta + c_w m_2 \theta + C\theta$

$c_w m_2 t_2 + (c_w m_1 + C) t_1 = \theta (c_w(m_1 + m_2) + C)$

$\theta = \frac{c_w m_2 t_2 + (c_w m_1 + C) t_1}{c_w(m_1 + m_2) + C}$

Подставим числовые значения:

$\theta = \frac{4200 \cdot 0,17 \cdot 120 + (4200 \cdot 1 + 1670) \cdot (-10)}{4200 \cdot (1 + 0,17) + 1670}$

$\theta = \frac{85680 + (5870) \cdot (-10)}{4200 \cdot 1,17 + 1670}$

$\theta = \frac{85680 - 58700}{4914 + 1670}$

$\theta = \frac{26980}{6584} \approx 4,0978 \text{ °C}$

Округлим результат до сотых.

$\theta \approx 4,10 \text{ °C}$

Ответ: В калориметре установится температура, приблизительно равная 4,10 °С.