Номер 43, страница 64 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (нагревание, охлаждение) - номер 43, страница 64.

Условие.

43. В железном калориметре массой 0,1 кг находится 0,5 кг воды при температуре 15 °С. В калориметр бросают свинец и алюминий общей массой 0,15 кг и температурой 100 °С. В результате температура воды поднимается до 17 °С. Определите массы алюминия и свинца.

Решение.

Дано:

Масса железного калориметра, $m_{ж} = 0,1$ кг
Масса воды, $m_{в} = 0,5$ кг
Начальная температура воды и калориметра, $t_1 = 15$ °C
Общая масса свинца и алюминия, $m_{общ} = 0,15$ кг
Начальная температура свинца и алюминия, $t_2 = 100$ °C
Конечная температура системы, $t_к = 17$ °C
Удельная теплоемкость железа, $c_{ж} = 460 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$
Удельная теплоемкость воды, $c_{в} = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$
Удельная теплоемкость алюминия, $c_{ал} = 920 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$
Удельная теплоемкость свинца, $c_{св} = 130 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Все данные представлены в системе СИ или в единицах, которые можно использовать в расчетах без перевода (разность температур в °C равна разности в Кельвинах).

Найти:

Массу алюминия, $m_{ал}$ — ?
Массу свинца, $m_{св}$ — ?

Решение:

Задача решается с помощью уравнения теплового баланса. В изолированной системе количество теплоты, отданное более нагретыми телами, равно количеству теплоты, полученному более холодными телами.

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Количество теплоты, отданное свинцом и алюминием при их остывании от температуры $t_2$ до $t_к$:

$Q_{отданное} = Q_{ал} + Q_{св} = c_{ал} m_{ал} (t_2 - t_к) + c_{св} m_{св} (t_2 - t_к) = (c_{ал} m_{ал} + c_{св} m_{св})(t_2 - t_к)$

Количество теплоты, полученное водой и калориметром при их нагревании от температуры $t_1$ до $t_к$:

$Q_{полученное} = Q_{в} + Q_{ж} = c_{в} m_{в} (t_к - t_1) + c_{ж} m_{ж} (t_к - t_1) = (c_{в} m_{в} + c_{ж} m_{ж})(t_к - t_1)$

Приравняем отданное и полученное количество теплоты:

$(c_{ал} m_{ал} + c_{св} m_{св})(t_2 - t_к) = (c_{в} m_{в} + c_{ж} m_{ж})(t_к - t_1)$

Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными: $m_{ал}$ и $m_{св}$. Второе уравнение мы можем составить из условия задачи об их общей массе:

$m_{ал} + m_{св} = m_{общ} = 0,15$ кг

Выразим массу свинца из второго уравнения: $m_{св} = 0,15 - m_{ал}$ и подставим в уравнение теплового баланса:

$(c_{ал} m_{ал} + c_{св} (0,15 - m_{ал}))(t_2 - t_к) = (c_{в} m_{в} + c_{ж} m_{ж})(t_к - t_1)$

Раскроем скобки и выразим $m_{ал}$:

$c_{ал} m_{ал} (t_2 - t_к) + 0,15 c_{св} (t_2 - t_к) - c_{св} m_{ал} (t_2 - t_к) = (c_{в} m_{в} + c_{ж} m_{ж})(t_к - t_1)$

$m_{ал} (c_{ал} - c_{св}) (t_2 - t_к) = (c_{в} m_{в} + c_{ж} m_{ж})(t_к - t_1) - 0,15 c_{св} (t_2 - t_к)$

$m_{ал} = \frac{(c_{в} m_{в} + c_{ж} m_{ж})(t_к - t_1) - 0,15 c_{св}(t_2 - t_к)}{(c_{ал} - c_{св})(t_2 - t_к)}$

Подставим числовые значения:

$m_{ал} = \frac{(4200 \cdot 0,5 + 460 \cdot 0,1)(17 - 15) - 0,15 \cdot 130 \cdot (100 - 17)}{(920 - 130)(100 - 17)}$

$m_{ал} = \frac{(2100 + 46) \cdot 2 - 19,5 \cdot 83}{790 \cdot 83} = \frac{2146 \cdot 2 - 1618,5}{65570}$

$m_{ал} = \frac{4292 - 1618,5}{65570} = \frac{2673,5}{65570} \approx 0,0408$ кг

Теперь найдем массу свинца:

$m_{св} = 0,15 - m_{ал} = 0,15 - 0,0408 = 0,1092$ кг

Округлим полученные значения, например, до тысячных:

$m_{ал} \approx 0,041$ кг (или 41 г)
$m_{св} \approx 0,109$ кг (или 109 г)

Ответ: масса алюминия ≈ 0,041 кг, масса свинца ≈ 0,109 кг.