Номер 47, страница 64 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (нагревание, охлаждение) - номер 47, страница 64.

Условие.

47. В калориметр налили ложку горячей воды, после чего его температура возросла на $5 ^\circ C$. После того как добавили вторую ложку горячей воды, температура возросла на $3 ^\circ C$. На сколько градусов увеличится температура калориметра, если в него добавить третью ложку горячей воды? Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Решение.

Дано:

Изменение температуры после добавления первой ложки, $\Delta t_1 = 5$ °C

Изменение температуры после добавления второй ложки, $\Delta t_2 = 3$ °C

Найти:

Изменение температуры после добавления третьей ложки, $\Delta t_3$ — ?

Решение:

Запишем уравнения теплового баланса для каждого случая, пренебрегая теплообменом с окружающей средой. Обозначим:

• $C_к$ – теплоемкость калориметра.
• $c_в$ – удельная теплоемкость воды.
• $\text{m}$ – масса воды в одной ложке.
• $t_г$ – начальная температура горячей воды.
• $t_0$ – начальная температура калориметра.
• $t_1, t_2, t_3$ – равновесные температуры после добавления первой, второй и третьей ложек воды соответственно.

1. Добавление первой ложки воды.

Калориметр получает тепло, горячая вода отдает. Конечная температура $t_1 = t_0 + \Delta t_1 = t_0 + 5$ °C.

Количество теплоты, отданное горячей водой: $Q_{отд1} = c_в m (t_г - t_1)$.

Количество теплоты, полученное калориметром: $Q_{пол1} = C_к (t_1 - t_0) = C_к \cdot 5$.

Из уравнения теплового баланса $Q_{отд1} = Q_{пол1}$:

$c_в m (t_г - (t_0 + 5)) = 5 C_к$

$c_в m (t_г - t_0 - 5) = 5 C_к$ (1)

2. Добавление второй ложки воды.

Теперь вторая ложка горячей воды отдает тепло системе, состоящей из калориметра и первой ложки воды. Начальная температура этой системы равна $t_1$. Конечная температура $t_2 = t_1 + \Delta t_2 = (t_0 + 5) + 3 = t_0 + 8$ °C.

Количество теплоты, отданное второй ложкой воды: $Q_{отд2} = c_в m (t_г - t_2)$.

Количество теплоты, полученное системой (калориметр + первая ложка воды): $Q_{пол2} = (C_к + c_в m) (t_2 - t_1) = (C_к + c_в m) \cdot 3$.

Из уравнения теплового баланса $Q_{отд2} = Q_{пол2}$:

$c_в m (t_г - (t_0 + 8)) = 3(C_к + c_в m)$

$c_в m (t_г - t_0 - 8) = 3(C_к + c_в m)$ (2)

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными величинами: отношением $C_к / (c_в m)$ и разностью температур $(t_г - t_0)$. Обозначим $\Delta T = t_г - t_0$.

Из уравнения (1) выразим $C_к$:

$C_к = \frac{c_в m (\Delta T - 5)}{5}$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$c_в m (\Delta T - 8) = 3 \left(\frac{c_в m (\Delta T - 5)}{5} + c_в m\right)$

Сократим обе части уравнения на $c_в m$ (так как масса воды в ложке не равна нулю):

$\Delta T - 8 = 3 \left(\frac{\Delta T - 5}{5} + 1\right)$

$\Delta T - 8 = 3 \left(\frac{\Delta T - 5 + 5}{5}\right)$

$\Delta T - 8 = \frac{3 \Delta T}{5}$

$5(\Delta T - 8) = 3 \Delta T$

$5 \Delta T - 40 = 3 \Delta T$

$2 \Delta T = 40$

$\Delta T = 20$ °C

Теперь найдем соотношение между теплоемкостью калориметра и теплоемкостью ложки воды:

$C_к = \frac{c_в m (20 - 5)}{5} = \frac{15 c_в m}{5} = 3 c_в m$

4. Добавление третьей ложки воды.

Третья ложка горячей воды отдает тепло системе, состоящей из калориметра и двух ложек воды. Начальная температура этой системы $t_2 = t_0 + 8$. Искомое изменение температуры – $\Delta t_3$. Конечная температура $t_3 = t_2 + \Delta t_3 = t_0 + 8 + \Delta t_3$.

Количество теплоты, отданное третьей ложкой воды: $Q_{отд3} = c_в m (t_г - t_3) = c_в m (t_г - (t_0 + 8 + \Delta t_3))$.

Количество теплоты, полученное системой (калориметр + две ложки воды): $Q_{пол3} = (C_к + 2 c_в m) (t_3 - t_2) = (C_к + 2 c_в m) \Delta t_3$.

Из уравнения теплового баланса, подставив $\Delta T = t_г - t_0 = 20$ и $C_к = 3 c_в m$:

$c_в m (20 - 8 - \Delta t_3) = (3 c_в m + 2 c_в m) \Delta t_3$

Сократим обе части на $c_в m$:

$12 - \Delta t_3 = 5 \Delta t_3$

$12 = 6 \Delta t_3$

$\Delta t_3 = \frac{12}{6} = 2$ °C

Ответ: температура калориметра увеличится на 2 °C.