Номер 37, страница 63 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (нагревание, охлаждение) - номер 37, страница 63.

Условие.

37. Два одинаковых сосуда содержат воду: в одном масса воды 0,1 кг при температуре 45 °С, в другом – 0,5 кг при 24 °С. В сосуды налили одинаковое количество ртути. После установления теплового равновесия в обоих сосудах оказалось, что температура воды в них одна и та же и равна 17 °С. Найдите теплоемкость сосудов.

Решение.

Дано:

Масса воды в первом сосуде, $m_{в1} = 0,1$ кг
Начальная температура воды и первого сосуда, $t_1 = 45$ °C
Масса воды во втором сосуде, $m_{в2} = 0,5$ кг
Начальная температура воды и второго сосуда, $t_2 = 24$ °C
Конечная температура в обоих сосудах, $\theta = 17$ °C
Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200$ Дж/(кг·°C)

Найти:

Теплоемкость сосудов, $C_c$.

Решение:

В задаче рассматриваются два процесса теплообмена. Сосуды одинаковые, значит их теплоемкости $C_c$ равны. В оба сосуда налили одинаковое количество ртути, это означает, что масса ртути $m_р$ и ее начальная температура $t_р$ были одинаковыми для обоих случаев. После установления теплового равновесия конечная температура $\theta$ в обоих сосудах также оказалась одинаковой.

Запишем уравнение теплового баланса для первого сосуда. Теплоту отдают вода и сосуд, а получает ртуть. Так как начальная температура воды и сосуда ($45$ °C) выше конечной ($17$ °C), а конечная температура выше начальной температуры ртути (иначе ртуть бы тоже отдавала тепло), то уравнение выглядит так:

$Q_{отд1} = Q_{получ1}$

Количество теплоты, отданное водой и первым сосудом:

$Q_{отд1} = c_в m_{в1} (t_1 - \theta) + C_c (t_1 - \theta)$

Количество теплоты, полученное ртутью:

$Q_{получ1} = c_р m_р (\theta - t_р)$

где $c_р$ - удельная теплоемкость ртути.

Таким образом, для первого сосуда получаем:

$(c_в m_{в1} + C_c)(t_1 - \theta) = c_р m_р (\theta - t_р)$ (1)

Аналогично запишем уравнение теплового баланса для второго сосуда. Вода и сосуд отдают тепло, а ртуть получает.

$Q_{отд2} = Q_{получ2}$

Количество теплоты, отданное водой и вторым сосудом:

$Q_{отд2} = c_в m_{в2} (t_2 - \theta) + C_c (t_2 - \theta)$

Количество теплоты, полученное ртутью (такое же, как и в первом случае):

$Q_{получ2} = c_р m_р (\theta - t_р)$

Таким образом, для второго сосуда получаем:

$(c_в m_{в2} + C_c)(t_2 - \theta) = c_р m_р (\theta - t_р)$ (2)

Правые части уравнений (1) и (2) равны, следовательно, мы можем приравнять их левые части:

$(c_в m_{в1} + C_c)(t_1 - \theta) = (c_в m_{в2} + C_c)(t_2 - \theta)$

Теперь из этого уравнения выразим искомую теплоемкость сосуда $C_c$.

$c_в m_{в1} (t_1 - \theta) + C_c (t_1 - \theta) = c_в m_{в2} (t_2 - \theta) + C_c (t_2 - \theta)$

$C_c (t_1 - \theta) - C_c (t_2 - \theta) = c_в m_{в2} (t_2 - \theta) - c_в m_{в1} (t_1 - \theta)$

$C_c ((t_1 - \theta) - (t_2 - \theta)) = c_в (m_{в2} (t_2 - \theta) - m_{в1} (t_1 - \theta))$

$C_c (t_1 - t_2) = c_в (m_{в2} (t_2 - \theta) - m_{в1} (t_1 - \theta))$

$C_c = \frac{c_в (m_{в2} (t_2 - \theta) - m_{в1} (t_1 - \theta))}{t_1 - t_2}$

Подставим числовые значения:

$C_c = \frac{4200 \cdot (0,5 \cdot (24 - 17) - 0,1 \cdot (45 - 17))}{45 - 24}$

$C_c = \frac{4200 \cdot (0,5 \cdot 7 - 0,1 \cdot 28)}{21}$

$C_c = \frac{4200 \cdot (3,5 - 2,8)}{21}$

$C_c = \frac{4200 \cdot 0,7}{21}$

$C_c = \frac{2940}{21} = 140$ Дж/°C

Ответ: Теплоемкость сосудов равна $140$ Дж/°C.