Номер 271, страница 142 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение искусственных спутников - номер 271, страница 142.

Условие.

271. Определите радиус круговой траектории спутника Земли, для которой скорость спутника будет вдвое меньше первой космической скорости на Земле. Радиус Земли 6400 км.

Решение.

Дано:

Радиус Земли, $R_З = 6400$ км

Скорость спутника, $v = \frac{1}{2} v_1$ (где $v_1$ - первая космическая скорость)

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Радиус круговой траектории спутника, $\text{R}$ - ?

Решение:

Первая космическая скорость $v_1$ — это скорость, которую необходимо придать телу, чтобы оно стало искусственным спутником, вращающимся по круговой орбите вблизи поверхности Земли. Она определяется из условия, что сила всемирного тяготения, действующая на спутник, равна центростремительной силе, удерживающей его на орбите радиусом $R_З$:

$G\frac{M m}{R_З^2} = \frac{m v_1^2}{R_З}$

где $\text{G}$ - гравитационная постоянная, $\text{M}$ - масса Земли, $\text{m}$ - масса спутника.

Отсюда выражение для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{G M}{R_З}}$

Аналогично, скорость спутника $\text{v}$ на произвольной круговой орбите радиусом $\text{R}$ (расстояние от центра Земли до спутника) определяется по формуле:

$v = \sqrt{\frac{G M}{R}}$

Согласно условию задачи, скорость спутника $\text{v}$ вдвое меньше первой космической скорости $v_1$:

$v = \frac{1}{2} v_1$

Подставим в это равенство выражения для скоростей:

$\sqrt{\frac{G M}{R}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{G M}{R_З}}$

Чтобы решить это уравнение относительно $\text{R}$, возведем обе его части в квадрат:

$\left(\sqrt{\frac{G M}{R}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2} \sqrt{\frac{G M}{R_З}}\right)^2$

$\frac{G M}{R} = \frac{1}{4} \frac{G M}{R_З}$

Сократим одинаковый множитель $G M$ в обеих частях уравнения, так как он не равен нулю:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{4 R_З}$

Из этого соотношения выразим искомый радиус орбиты $\text{R}$:

$R = 4 R_З$

Теперь выполним вычисление, подставив значение радиуса Земли:

$R = 4 \cdot 6400 \text{ км} = 25600 \text{ км}$

Ответ: радиус круговой траектории спутника равен $25600$ км.