Номер 266, страница 142 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение искусственных спутников - номер 266, страница 142.

Условие.

266. Чему равна первая космическая скорость для планеты, масса и радиус которой в три раза больше, чем у Земли? Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли $10 \text{ м/с}^2$.

Решение.

Дано:

$M_п = 3M_З$ (масса планеты в 3 раза больше массы Земли)

$R_п = 3R_З$ (радиус планеты в 3 раза больше радиуса Земли)

$R_З = 6400 \text{ км}$ (радиус Земли)

$g_З = 10 \text{ м/с²}$ (ускорение свободного падения на Земле)

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$v_{1п}$ — первая космическая скорость для планеты.

Решение:

Первая космическая скорость $v_1$ для небесного тела определяется по формуле:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса небесного тела, $\text{R}$ — его радиус.

Для планеты, о которой идет речь в задаче, первая космическая скорость будет:

$v_{1п} = \sqrt{\frac{GM_п}{R_п}}$

Подставим в эту формулу соотношения для массы и радиуса планеты из условия ($M_п = 3M_З$ и $R_п = 3R_З$):

$v_{1п} = \sqrt{\frac{G(3M_З)}{3R_З}} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}$

Полученное выражение совпадает с формулой для первой космической скорости для Земли ($v_{1З}$):

$v_{1З} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}$

Следовательно, $v_{1п} = v_{1З}$. Таким образом, задача сводится к нахождению первой космической скорости для Земли.

Первую космическую скорость можно также выразить через ускорение свободного падения на поверхности. Ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности небесного тела связано с его массой $\text{M}$ и радиусом $\text{R}$ соотношением:

$g = \frac{GM}{R^2}$

Отсюда можно выразить произведение $GM = gR^2$. Подставим это выражение в формулу для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$

Теперь, используя данные для Земли, вычислим первую космическую скорость:

$v_{1З} = \sqrt{g_З R_З} = \sqrt{10 \frac{\text{м}}{\text{с²}} \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}} = \sqrt{64 \cdot 10^6 \frac{\text{м²}}{\text{с²}}} = 8 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 8 \text{ км/с}$

Поскольку мы установили, что $v_{1п} = v_{1З}$, то первая космическая скорость для данной планеты также равна $8 \text{ км/с}$.

Ответ: первая космическая скорость для планеты равна $8 \text{ км/с}$.