Номер 270, страница 142 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение искусственных спутников - номер 270, страница 142.

Условие.

270. Масса некоторой планеты в 4,4 раза больше массы Земли, а ее радиус в 2 раза больше радиуса Земли. Во сколько раз первая космическая скорость на этой планете больше, чем на Земле?

Решение.

Дано:

Масса планеты $M_п = 4.4 \cdot M_З$

Радиус планеты $R_п = 2 \cdot R_З$

Найти:

$\frac{v_{1п}}{v_{1З}}$ - ?

Решение:

Первая космическая скорость ($v_1$) для небесного тела определяется формулой:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$,

где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $\text{M}$ – масса небесного тела, $\text{R}$ – его радиус.

Для Земли первая космическая скорость равна:

$v_{1З} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}$

Для рассматриваемой планеты первая космическая скорость равна:

$v_{1п} = \sqrt{\frac{GM_п}{R_п}}$

Подставим в формулу для планеты её массу и радиус, выраженные через массу и радиус Земли, согласно условию задачи ($M_п = 4.4 M_З$ и $R_п = 2 R_З$):

$v_{1п} = \sqrt{\frac{G(4.4 M_З)}{2 R_З}}$

Чтобы найти, во сколько раз первая космическая скорость на планете больше, чем на Земле, найдем их отношение $\frac{v_{1п}}{v_{1З}}$:

$\frac{v_{1п}}{v_{1З}} = \frac{\sqrt{\frac{G \cdot 4.4 M_З}{2 R_З}}}{\sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}}$

Упростим выражение, внеся все под один корень и сократив одинаковые множители ($G, M_З, R_З$):

$\frac{v_{1п}}{v_{1З}} = \sqrt{\frac{\frac{G \cdot 4.4 M_З}{2 R_З}}{\frac{GM_З}{R_З}}} = \sqrt{\frac{G \cdot 4.4 M_З \cdot R_З}{2 R_З \cdot G \cdot M_З}} = \sqrt{\frac{4.4}{2}}$

Выполним вычисление:

$\frac{v_{1п}}{v_{1З}} = \sqrt{2.2} \approx 1.483$

Ответ: первая космическая скорость на этой планете больше, чем на Земле, в $\sqrt{2.2}$ раза (приблизительно в 1,48 раза).