Номер 267, страница 142 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение искусственных спутников - номер 267, страница 142.

Условие.

267. Определите первую космическую скорость у поверхности Луны, если радиус Луны $1760 \text{ км}$, а ускорение свободного падения у поверхности Луны в $\text{6}$ раз меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли.

Решение.

Дано:

Радиус Луны, $R_Л = 1760 \text{ км}$

Ускорение свободного падения на Луне, $g_Л = \frac{g_З}{6}$

Ускорение свободного падения на Земле, $g_З \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (справочное значение)

Перевод в систему СИ:
$R_Л = 1760 \text{ км} = 1760 \cdot 10^3 \text{ м} = 1.76 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Первую космическую скорость у поверхности Луны, $v_1$.

Решение:

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу на некоторой высоте над поверхностью небесного тела, чтобы оно стало его искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Эта скорость определяется из условия, что сила всемирного тяготения, действующая на спутник, равна центростремительной силе, удерживающей его на орбите:

$F_g = F_ц$

Для спутника массой $\text{m}$ у поверхности Луны:

$m \cdot g_Л = \frac{m \cdot v_1^2}{R_Л}$

Сократив массу $\text{m}$, получим формулу для вычисления первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{g_Л R_Л}$

Сначала вычислим ускорение свободного падения на поверхности Луны ($g_Л$), используя данные из условия задачи:

$g_Л = \frac{g_З}{6} = \frac{9.8 \text{ м/с}^2}{6} \approx 1.633 \text{ м/с}^2$

Теперь подставим значения $g_Л$ и $R_Л$ (в системе СИ) в формулу для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{9.8}{6} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1.76 \cdot 10^6 \text{ м}} \approx \sqrt{2874667 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 1695.5 \text{ м/с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, поскольку значение $g_З$ было взято с такой точностью.

$v_1 \approx 1700 \text{ м/с}$ или $1.7 \text{ км/с}$.

Ответ: $1.7 \cdot 10^3 \text{ м/с}$ (или $1.7 \text{ км/с}$).