Номер 264, страница 141 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - номер 264, страница 141.

Условие.

264. Две материальные точки одновременно начинают двигаться по окружности из одного положения в противоположных направлениях. Через какое время от начала движения они встретятся, если время одного полного оборота первой точки 3 с, а второй — 6 с?

Решение.

Дано:

Время полного оборота первой точки: $T_1 = 3 \text{ с}$

Время полного оборота второй точки: $T_2 = 6 \text{ с}$

Все данные уже находятся в системе СИ.

Найти:

Время до встречи точек: $\text{t}$

Решение:

Пусть точки начинают движение из одной точки на окружности в противоположных направлениях. Они встретятся, когда сумма пройденных ими угловых расстояний станет равна полному углу окружности, то есть $2\pi$ радиан.

Угловая скорость движения связана с периодом обращения $\text{T}$ формулой:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Найдем угловые скорости для каждой точки:

Угловая скорость первой точки: $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$

Угловая скорость второй точки: $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2}$

За время $\text{t}$ первая точка пройдет угол $\varphi_1 = \omega_1 t$, а вторая точка — угол $\varphi_2 = \omega_2 t$.

Условие их встречи можно записать как:

$\varphi_1 + \varphi_2 = 2\pi$

Подставим выражения для углов:

$\omega_1 t + \omega_2 t = 2\pi$

$t(\omega_1 + \omega_2) = 2\pi$

Теперь подставим выражения для угловых скоростей:

$t(\frac{2\pi}{T_1} + \frac{2\pi}{T_2}) = 2\pi$

Можно сократить обе части уравнения на $2\pi$:

$t(\frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}) = 1$

Выразим время $\text{t}$:

$t = \frac{1}{\frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}} = \frac{1}{\frac{T_2 + T_1}{T_1 T_2}} = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$t = \frac{3 \cdot 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \text{ с}$

Ответ: точки встретятся через 2 с.