Номер 268, страница 142 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение искусственных спутников - номер 268, страница 142.

Условие.

268. Ускорение свободного падения на поверхности некоторой планеты $12,2 \, \text{м/с}^2$, а ее радиус $8200 \, \text{км}$. Определите скорость спутника, движущегося по круговой орбите вокруг этой планеты на высоте, равной радиусу планеты.

Решение.

Дано:

Ускорение свободного падения на поверхности планеты, $g = 12,2 \, \text{м/с}^2$
Радиус планеты, $R = 8200 \, \text{км}$
Высота орбиты спутника, $h = R$

$R = 8200 \, \text{км} = 8200 \cdot 10^3 \, \text{м} = 8.2 \cdot 10^6 \, \text{м}$

Найти:

Скорость спутника, $\text{v}$

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности планеты связано с ее массой $\text{M}$ и радиусом $\text{R}$ следующим соотношением, вытекающим из закона всемирного тяготения:
$g = G \frac{M}{R^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.
Отсюда можно выразить произведение $GM$:
$GM = gR^2$.
Спутник движется по круговой орбите, значит, на него действует центростремительное ускорение. Роль центростремительной силы выполняет гравитационная сила, действующая на спутник со стороны планеты. Запишем второй закон Ньютона для спутника массой $\text{m}$:
$F_{гр} = m a_ц$
Гравитационная сила на высоте $\text{h}$ от поверхности планеты равна:
$F_{гр} = G \frac{M m}{(R+h)^2}$
Центростремительное ускорение спутника, движущегося со скоростью $\text{v}$ по орбите радиусом $r = R+h$, равно:
$a_ц = \frac{v^2}{R+h}$
Приравниваем силы:
$G \frac{M m}{(R+h)^2} = m \frac{v^2}{R+h}$
Сократив массу спутника $\text{m}$ и радиус орбиты $(R+h)$, получим выражение для скорости:
$v^2 = \frac{GM}{R+h} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
Подставим в эту формулу выражение для $GM = gR^2$:
$v = \sqrt{\frac{gR^2}{R+h}}$
По условию задачи, высота орбиты равна радиусу планеты, то есть $h=R$. Подставим это значение в формулу:
$v = \sqrt{\frac{gR^2}{R+R}} = \sqrt{\frac{gR^2}{2R}} = \sqrt{\frac{gR}{2}}$
Теперь подставим числовые значения в систему СИ:
$v = \sqrt{\frac{12,2 \, \text{м/с}^2 \cdot 8,2 \cdot 10^6 \, \text{м}}{2}} = \sqrt{\frac{100,04 \cdot 10^6 \, \text{м}^2/\text{с}^2}{2}} = \sqrt{50,02 \cdot 10^6 \, \text{м}^2/\text{с}^2} \approx 7072,5 \, \text{м/с}$
Скорость спутника можно также выразить в километрах в секунду:
$v \approx 7,07 \, \text{км/с}$

Ответ: скорость спутника приблизительно равна $7072,5 \, \text{м/с}$ или $7,07 \, \text{км/с}$.