Номер 272, страница 142 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение искусственных спутников - номер 272, страница 142.

Условие.

272. Спутник движется вокруг планеты по орбите радиусом 6209 м со скоростью 40 км/с. Какова плотность планеты, если ее радиус $4 \cdot 10^8 \text{ м}$?

Решение.

Дано:

Радиус орбиты спутника, $r = 6209 \text{ м}$

Скорость спутника, $v = 40 \text{ км/с}$

Радиус планеты, $R = 4 \cdot 10^8 \text{ м}$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

$v = 40 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 40 \cdot 1000 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 4 \cdot 10^4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Плотность планеты, $\rho$

Решение:

При движении спутника по круговой орбите сила всемирного тяготения, действующая на него со стороны планеты, является центростремительной силой. По второму закону Ньютона:

$F_g = F_c$

Сила всемирного тяготения $F_g$ между планетой массой $\text{M}$ и спутником массой $\text{m}$ на расстоянии $\text{r}$ (радиус орбиты) от центра планеты равна:

$F_g = G \frac{M m}{r^2}$

Центростремительная сила $F_c$, необходимая для движения спутника по окружности со скоростью $\text{v}$:

$F_c = \frac{m v^2}{r}$

Приравнивая выражения для сил, получаем:

$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Из этого уравнения можно выразить массу планеты $\text{M}$. Для этого сократим массу спутника $\text{m}$ и один радиус $\text{r}$:

$G \frac{M}{r} = v^2$

$M = \frac{v^2 r}{G}$

Плотность $\rho$ однородного тела определяется как отношение его массы $\text{M}$ к его объему $\text{V}$. Для сферической планеты с радиусом $\text{R}$ объем вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3} \pi R^3$

Тогда формула для плотности планеты имеет вид:

$\\rho= \frac{M}{V} = \frac{\frac{v^2 r}{G}}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{3 v^2 r}{4 \pi G R^3}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$\\rho= \frac{3 \cdot (4 \cdot 10^4 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2 \cdot 6209 \text{ м}}{4 \pi \cdot (6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}) \cdot (4 \cdot 10^8 \text{ м})^3}$

Выполним вычисления:

$\\rho= \frac{3 \cdot 16 \cdot 10^8 \cdot 6209}{4 \pi \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 64 \cdot 10^{24}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\\rho= \frac{298032 \cdot 10^8}{4 \cdot 3.1416 \cdot 6.67 \cdot 64 \cdot 10^{13}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\\rho\approx \frac{2.98 \cdot 10^{13}}{5.36 \cdot 10^{16}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\\rho\approx 0.556 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 5.56 \cdot 10^{-4} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: плотность планеты составляет примерно $5.56 \cdot 10^{-4} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.