Номер 276, страница 143 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение искусственных спутников - номер 276, страница 143.

Условие.

276. На какой высоте должен вращаться спутник в плоскости экватора, чтобы за земные сутки совершить 14 оборотов вокруг Земли? Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли считать равным $10 \text{ м}/\text{с}^2$, продолжительность суток 24 ч.

Решение.

Дано

Число оборотов, $N = 14$
Время, $t = 24 \text{ ч}$
Радиус Земли, $R_З = 6400 \text{ км}$
Ускорение свободного падения на поверхности Земли, $g = 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$t = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$
$R_З = 6400 \cdot 1000 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение

Спутник движется по круговой орбите вокруг Земли под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{грав} = m a_ц$

где $F_{грав}$ — сила гравитационного притяжения, $\text{m}$ — масса спутника, $a_ц$ — центростремительное ускорение.

Сила тяготения, действующая на спутник на орбите радиусом $r = R_З + h$, равна:

$F_{грав} = G \frac{M m}{r^2} = G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

где $\text{M}$ — масса Земли, $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Центростремительное ускорение спутника выражается через угловую скорость $\omega$:

$a_ц = \omega^2 r = \omega^2 (R_З + h)$

Приравнивая выражения, получаем:

$G \frac{M m}{(R_З + h)^2} = m \omega^2 (R_З + h)$

$G \frac{M}{(R_З + h)^2} = \omega^2 (R_З + h)$

Произведение $GM$ можно выразить через ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности Земли:

$g = G\frac{M}{R_З^2} \implies GM = gR_З^2$

Подставим это выражение в уравнение движения спутника:

$\frac{gR_З^2}{(R_З+h)^3} = \omega^2$

Спутник совершает $N=14$ оборотов за время $\text{t}$. Период одного оборота $\text{T}$ равен $T = t/N$. Угловая скорость $\omega$ связана с периодом как $\omega = 2\pi/T$. Следовательно:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi N}{t}$

Подставим выражение для $\omega$ в уравнение для радиуса орбиты:

$\frac{gR_З^2}{(R_З+h)^3} = \left(\frac{2\pi N}{t}\right)^2$

Обозначим радиус орбиты $r = R_З+h$ и выразим его:

$r^3 = \frac{gR_З^2 t^2}{4\pi^2 N^2}$

$r = \sqrt[3]{\frac{gR_З^2 t^2}{4\pi^2 N^2}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$r = \sqrt[3]{\frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (6.4 \cdot 10^6 \text{ м})^2 \cdot (86400 \text{ с})^2}{4\pi^2 \cdot 14^2}} \approx \sqrt[3]{\frac{10 \cdot 40.96 \cdot 10^{12} \cdot 7.465 \cdot 10^9}{4 \cdot 9.87 \cdot 196}} \approx \sqrt[3]{3.95 \cdot 10^{20}} \text{ м}^3$

$r \approx 7.34 \cdot 10^6 \text{ м}$

Высота спутника над поверхностью Земли $\text{h}$ равна разности радиуса орбиты и радиуса Земли:

$h = r - R_З = 7.34 \cdot 10^6 \text{ м} - 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} = 0.94 \cdot 10^6 \text{ м} = 940 \text{ км}$

Ответ: 940 км.