Номер 269, страница 142 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение искусственных спутников - номер 269, страница 142.

Условие.

269. Космический корабль движется по круговой орбите радиусом 13 000 км около некоторой планеты со скоростью 10 км/с. Каково ускорение свободного падения на поверхности этой планеты, если ее радиус 10 000 км?

Решение.

Дано:

Радиус орбиты космического корабля, $r = 13000 \text{ км}$

Скорость корабля на орбите, $v = 10 \text{ км/с}$

Радиус планеты, $R = 10000 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$r = 13000 \cdot 10^3 \text{ м} = 1.3 \times 10^7 \text{ м}$

$v = 10 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 1 \times 10^4 \text{ м/с}$

$R = 10000 \cdot 10^3 \text{ м} = 1 \times 10^7 \text{ м}$

Найти:

Ускорение свободного падения на поверхности планеты $g_R$ - ?

Решение:

При движении космического корабля по круговой орбите сила гравитационного притяжения планеты является центростремительной силой. Следовательно, ускорение свободного падения на высоте орбиты, $g_r$, равно центростремительному ускорению корабля, $a_ц$.

$g_r = a_ц = \frac{v^2}{r}$

Согласно закону всемирного тяготения, ускорение свободного падения на расстоянии $\text{x}$ от центра планеты массой $\text{M}$ определяется формулой:

$g(x) = G\frac{M}{x^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Таким образом, мы можем записать выражения для ускорения свободного падения на орбите ($g_r$) и на поверхности планеты ($g_R$):

$g_r = G\frac{M}{r^2}$

$g_R = G\frac{M}{R^2}$

Чтобы исключить неизвестную величину $GM$ (гравитационный параметр планеты), составим отношение этих двух ускорений:

$\frac{g_R}{g_r} = \frac{G\frac{M}{R^2}}{G\frac{M}{r^2}} = \frac{r^2}{R^2}$

Отсюда можно выразить искомое ускорение свободного падения на поверхности планеты $g_R$:

$g_R = g_r \cdot \left(\frac{r}{R}\right)^2$

Теперь подставим в эту формулу выражение для $g_r$, полученное из параметров орбитального движения ($g_r = \frac{v^2}{r}$):

$g_R = \frac{v^2}{r} \cdot \frac{r^2}{R^2} = \frac{v^2 r}{R^2}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу, используя данные в системе СИ:

$g_R = \frac{(1 \times 10^4 \text{ м/с})^2 \cdot (1.3 \times 10^7 \text{ м})}{(1 \times 10^7 \text{ м})^2} = \frac{1 \times 10^8 \text{ м}^2/\text{с}^2 \cdot 1.3 \times 10^7 \text{ м}}{1 \times 10^{14} \text{ м}^2} = \frac{1.3 \times 10^{15}}{1 \times 10^{14}} \text{ м/с}^2 = 13 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение свободного падения на поверхности этой планеты составляет $13 \text{ м/с}^2$.