Номер 263, страница 141 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - номер 263, страница 141.

Условие.

263. Минутная и часовая стрелки стоят на 12 часах. Через какой минимальный промежуток времени они будут направлены в противоположные стороны?

Решение.

Дано:

Начальное положение стрелок: 12 часов (совпадают).

Период обращения минутной стрелки: $T_{мин} = 60 \text{ мин} = 3600 \text{ с}$.

Период обращения часовой стрелки: $T_{час} = 12 \text{ часов} = 720 \text{ мин} = 43200 \text{ с}$.

Угловые скорости в системе СИ:

$\omega_{мин} = \frac{2\pi}{T_{мин}} = \frac{2\pi}{3600} = \frac{\pi}{1800} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

$\omega_{час} = \frac{2\pi}{T_{час}} = \frac{2\pi}{43200} = \frac{\pi}{21600} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

Найти:

Минимальный промежуток времени $\text{t}$, через который стрелки будут направлены в противоположные стороны.

Решение:

Для удобства вычислений будем использовать угловую скорость в градусах в минуту. Весь циферблат составляет $360^\circ$.

1. Найдем угловую скорость минутной стрелки. Она проходит полный круг ($360^\circ$) за 60 минут.

$\omega_{мин} = \frac{360^\circ}{60 \text{ мин}} = 6 \frac{^\circ}{\text{мин}}$

2. Найдем угловую скорость часовой стрелки. Она проходит полный круг ($360^\circ$) за 12 часов, что составляет $12 \times 60 = 720$ минут.

$\omega_{час} = \frac{360^\circ}{720 \text{ мин}} = 0.5 \frac{^\circ}{\text{мин}}$

3. В начальный момент времени ($t=0$) обе стрелки находятся на 12 часах, то есть их углы совпадают. Будем считать это положение за $0^\circ$.

4. Чтобы стрелки были направлены в противоположные стороны, разница углов их положений должна составлять $180^\circ$. Поскольку минутная стрелка движется быстрее часовой, она должна "оторваться" от часовой на $180^\circ$.

5. Угол поворота минутной стрелки за время $\text{t}$ равен $\alpha_{мин} = \omega_{мин} \cdot t = 6t$.

6. Угол поворота часовой стрелки за время $\text{t}$ равен $\alpha_{час} = \omega_{час} \cdot t = 0.5t$.

7. Составим уравнение, исходя из условия, что разница углов должна быть $180^\circ$:

$\alpha_{мин} - \alpha_{час} = 180^\circ$

$6t - 0.5t = 180$

$5.5t = 180$

8. Решим уравнение относительно $\text{t}$ (время в минутах):

$t = \frac{180}{5.5} = \frac{1800}{55} = \frac{360}{11}$

Таким образом, искомый промежуток времени равен $\frac{360}{11}$ минут.

9. Можно представить этот результат в виде смешанной дроби:

$t = 32 \frac{8}{11} \text{ минут}$

Это соответствует 32 минутам и $\frac{8}{11} \times 60 = \frac{480}{11} \approx 43.6$ секундам.

Ответ: через $\frac{360}{11}$ минут или $32 \frac{8}{11}$ минут.