Номер 259, страница 141 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - номер 259, страница 141.

Условие.

259. На горизонтальной вращающейся платформе на расстоянии 10 см от оси вращения лежит груз. Коэффициент трения между грузом и платформой 0,01. При какой скорости вращения платформы груз начнет скользить?

Решение.

Дано:

$r = 10 \text{ см}$

$\mu = 0.01$

Перевод в систему СИ:

$r = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$\omega$ - угловую скорость вращения платформы, при которой груз начнет скользить.

Решение:

На груз, вращающийся вместе с платформой, действуют три силы: сила тяжести ($mg$), направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры ($\text{N}$), направленная вертикально вверх, и сила трения покоя ($F_{тр}$), направленная горизонтально к оси вращения.

Второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси:

1. Вдоль вертикальной оси силы скомпенсированы, так как груз не движется в этом направлении:

$N - mg = 0 \implies N = mg$

2. Вдоль горизонтальной оси (направленной к центру вращения) на груз действует только сила трения покоя. Эта сила и создает центростремительное ускорение ($a_ц$), удерживая груз на круговой траектории:

$F_{тр} = ma_ц$

Центростремительное ускорение выражается через угловую скорость $\omega$ и радиус $\text{r}$ по формуле $a_ц = \omega^2 r$.

Тогда $F_{тр} = m\omega^2 r$.

Груз будет оставаться в покое относительно платформы до тех пор, пока необходимая для этого сила трения не превысит максимальное значение силы трения покоя, которое равно $F_{тр.макс} = \mu N$. Подставляя $N = mg$, получаем:

$F_{тр.макс} = \mu mg$

Груз начнет скользить, когда центростремительная сила, необходимая для его удержания, станет равной максимальной силе трения покоя:

$m\omega^2 r = F_{тр.макс}$

$m\omega^2 r = \mu mg$

Масса груза $\text{m}$ сокращается:

$\omega^2 r = \mu g$

Отсюда находим предельную угловую скорость:

$\omega = \sqrt{\frac{\mu g}{r}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\omega = \sqrt{\frac{0.01 \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0.1 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{0.1}{0.1}} = \sqrt{1} = 1 \text{ рад/с}$

Ответ: груз начнет скользить при скорости вращения платформы 1 рад/с.