Номер 253, страница 140 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - номер 253, страница 140.

Условие.

253. Каков радиус вращающегося колеса, если скорость точек его обода равна 0,5 м/с, а скорость точек, находящихся на 4 см ближе к оси вращения, равна 0,3 м/с?

Решение.

Дано:

Скорость точек на ободе колеса, $v_1 = 0,5$ м/с

Скорость точек, расположенных ближе к оси вращения, $v_2 = 0,3$ м/с

Разница в расстоянии от оси вращения, $\Delta r = 4$ см

Перевод в систему СИ:

$\Delta r = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$

Найти:

Радиус колеса, $\text{R}$

Решение:

Все точки вращающегося твердого тела (колеса) имеют одинаковую угловую скорость $\omega$. Линейная скорость $\text{v}$ любой точки тела связана с угловой скоростью и расстоянием $\text{r}$ от оси вращения соотношением: $v = \omega \cdot r$.

Для точек на ободе колеса, находящихся на расстоянии $\text{R}$ (радиус колеса) от оси, линейная скорость равна $v_1$. Следовательно, мы можем записать:

$v_1 = \omega \cdot R \quad (1)$

Для точек, находящихся на $\Delta r$ ближе к оси вращения, расстояние от оси будет $R - \Delta r$, а их линейная скорость равна $v_2$. Для них справедливо уравнение:

$v_2 = \omega \cdot (R - \Delta r) \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $\text{R}$ и $\omega$. Чтобы найти радиус $\text{R}$, выразим угловую скорость $\omega$ из первого уравнения и подставим во второе.

Из уравнения (1) получаем: $\omega = \frac{v_1}{R}$.

Подставляем это выражение для $\omega$ в уравнение (2):

$v_2 = \frac{v_1}{R} \cdot (R - \Delta r)$

Теперь решим это уравнение относительно $\text{R}$:

$v_2 \cdot R = v_1 \cdot (R - \Delta r)$

$v_2 \cdot R = v_1 \cdot R - v_1 \cdot \Delta r$

$v_1 \cdot \Delta r = v_1 \cdot R - v_2 \cdot R$

$v_1 \cdot \Delta r = R \cdot (v_1 - v_2)$

Отсюда находим радиус $\text{R}$:

$R = \frac{v_1 \cdot \Delta r}{v_1 - v_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$R = \frac{0,5 \text{ м/с} \cdot 0,04 \text{ м}}{0,5 \text{ м/с} - 0,3 \text{ м/с}} = \frac{0,02 \text{ м}^2/\text{с}}{0,2 \text{ м/с}} = 0,1 \text{ м}$

Радиус колеса равен 0,1 м, что составляет 10 см.

Ответ: $0,1$ м.