Номер 254, страница 140 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - номер 254, страница 140.

Условие.

254. Два шкива соединены ременной передачей. Ведущий шкив делает 600 оборотов в минуту. Ведомый шкив делает 3000 оборотов в минуту. Каким должен быть диаметр ведущего шкива, если диаметр ведомого 10 см?

Решение.

Дано:

Частота вращения ведущего шкива, $n_1 = 600$ об/мин

Частота вращения ведомого шкива, $n_2 = 3000$ об/мин

Диаметр ведомого шкива, $d_2 = 10$ см

Перевод в систему СИ:

Частота вращения ведущего шкива: $f_1 = 600 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{600}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} = 10 \text{ Гц}$

Частота вращения ведомого шкива: $f_2 = 3000 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{3000}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} = 50 \text{ Гц}$

Диаметр ведомого шкива: $d_2 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Диаметр ведущего шкива, $d_1$

Решение:

При ременной передаче линейная скорость точек на ободе ведущего и ведомого шкивов одинакова, так как ремень движется с одной и той же скоростью по всей своей длине (при условии отсутствия проскальзывания). Обозначим эту скорость как $\text{v}$.

Линейная скорость $\text{v}$ точки на ободе вращающегося тела связана с его частотой вращения $\text{f}$ (в Гц) и диаметром $\text{d}$ по формуле:

$v = \pi f d$

Для ведущего шкива (индекс 1) и ведомого шкива (индекс 2) имеем:

$v_1 = \pi f_1 d_1$

$v_2 = \pi f_2 d_2$

Поскольку линейные скорости равны ($v_1 = v_2$), мы можем приравнять правые части уравнений:

$\pi f_1 d_1 = \pi f_2 d_2$

Сократив $\pi$ с обеих сторон, получим соотношение, известное как передаточное отношение:

$f_1 d_1 = f_2 d_2$

Это соотношение справедливо и для частот, выраженных в оборотах в минуту ($\text{n}$), так как для перевода в Гц обе части уравнения нужно разделить на 60, что не изменит равенства: $n_1 d_1 = n_2 d_2$.

Из этого соотношения выразим искомый диаметр ведущего шкива $d_1$:

$d_1 = \frac{n_2 d_2}{n_1}$

Подставим известные значения. Удобнее использовать исходные единицы (об/мин и см), так как их соотношение сохранится, и результат для диаметра будет сразу в сантиметрах.

$d_1 = \frac{3000 \text{ об/мин} \cdot 10 \text{ см}}{600 \text{ об/мин}} = \frac{30000}{600} \text{ см} = 50 \text{ см}$

Ответ: диаметр ведущего шкива должен быть 50 см.