Номер 255, страница 140 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - номер 255, страница 140.

Условие.

255. Шарик подвешен на нити длиной $l = 50 \text{ см}$. Во сколько раз увеличится сила натяжения нити, если шарик раскрутить по окружности радиусом $R = 30 \text{ см}$ в горизонтальной плоскости (см. рисунок)?

Решение.

Дано:

$l = 50$ см $= 0.5$ м

$R = 30$ см $= 0.3$ м

Найти:

Отношение силы натяжения нити при вращении ($T_2$) к силе натяжения в состоянии покоя ($T_1$), то есть $\frac{T_2}{T_1}$.

Решение:

1. В начальном состоянии, когда шарик висит неподвижно, на него действуют сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила натяжения нити $T_1$, направленная вверх. Система находится в равновесии, поэтому по первому закону Ньютона:

$T_1 = mg$

2. Когда шарик вращается в горизонтальной плоскости, он представляет собой конический маятник. На шарик действуют те же силы: сила тяжести $mg$ и сила натяжения нити $T_2$, которая теперь направлена под углом $\alpha$ к вертикали. Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение.

Разложим силу натяжения $T_2$ на вертикальную ($T_{2y}$) и горизонтальную ($T_{2x}$) составляющие. Вдоль вертикальной оси ускорение отсутствует, поэтому сумма проекций сил на эту ось равна нулю:

$T_{2y} - mg = 0$

$T_2 \cos(\alpha) = mg$

Из этого уравнения можно выразить силу натяжения $T_2$:

$T_2 = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$

3. Найдем значение $\cos(\alpha)$ из геометрических соображений. Длина нити $\text{l}$, радиус окружности $\text{R}$ и вертикальное расстояние $\text{h}$ от точки подвеса до плоскости вращения образуют прямоугольный треугольник, где $\text{l}$ — гипотенуза, а $\text{R}$ — катет, противолежащий углу $\alpha$.

Синус угла $\alpha$ равен:

$\sin(\alpha) = \frac{R}{l} = \frac{30 \text{ см}}{50 \text{ см}} = \frac{3}{5} = 0.6$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, найдем косинус угла:

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$

4. Подставим найденное значение $\cos(\alpha)$ в формулу для $T_2$:

$T_2 = \frac{mg}{0.8} = \frac{mg}{4/5} = \frac{5}{4}mg = 1.25mg$

5. Теперь найдем, во сколько раз сила натяжения $T_2$ больше силы натяжения $T_1$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{1.25mg}{mg} = 1.25$

Ответ: Сила натяжения нити увеличится в 1,25 раза.