Номер 257, страница 141 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - номер 257, страница 141.

Условие.

257. Математический маятник имеет массу груза 1 кг и длину нити 20 см. В момент, когда нить образует угол $60^\circ$ с вертикалью, скорость груза маятника равна 1 м/с. Какова в этот момент сила натяжения нити?

Решение.

Дано:

Масса груза, $m = 1$ кг
Длина нити, $l = 20$ см
Угол отклонения, $\alpha = 60^{\circ}$
Скорость груза, $v = 1$ м/с
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$

Перевод в систему СИ:
$l = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Силу натяжения нити, $\text{T}$

Решение:

На груз маятника действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Груз движется по дуге окружности радиусом $\text{l}$. Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на ось, направленную вдоль нити к центру окружности (ось Y). Равнодействующая сил в этом направлении сообщает грузу центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{l}$.

Проекция силы тяжести на эту ось равна $F_{g,y} = mg \cos\alpha$. Сила натяжения $\text{T}$ полностью лежит на этой оси.

Согласно второму закону Ньютона:

$T - mg \cos\alpha = ma_c$

Подставим выражение для центростремительного ускорения:

$T - mg \cos\alpha = \frac{mv^2}{l}$

Выразим силу натяжения нити $\text{T}$:

$T = mg \cos\alpha + \frac{mv^2}{l}$

Подставим числовые значения в формулу:

$T = 1 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \cos(60^{\circ}) + \frac{1 \text{ кг} \cdot (1 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{0.2 \text{ м}}$

Зная, что $\cos(60^{\circ}) = 0.5$, получаем:

$T = 1 \cdot 10 \cdot 0.5 + \frac{1 \cdot 1}{0.2} = 5 + 5 = 10 \text{ Н}$

Ответ: сила натяжения нити в данный момент равна 10 Н.