Номер 256, страница 140 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - номер 256, страница 140.

Условие.

256. Мальчик вращает шарик массой 50 г, прикрепленный к нити, в вертикальной плоскости с постоянной скоростью по окружности. Определите разность сил натяжения нити в нижней и верхней точках траектории.

Решение.

Дано:

Масса шарика $m = 50$ г

Скорость вращения $v = \text{const}$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$m = 50 \cdot 10^{-3} \, \text{кг} = 0,05 \, \text{кг}$

Найти:

Разность сил натяжения нити $\Delta T = T_{ниж} - T_{верх}$

Решение:

Когда шарик движется по окружности в вертикальной плоскости, на него действуют сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$ (направлена всегда вертикально вниз) и сила натяжения нити $\vec{T}$ (направлена вдоль нити к центру окружности).

Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на шарик, равна произведению его массы на центростремительное ускорение $\vec{a_ц}$: $m\vec{a_ц} = \vec{T} + m\vec{g}$. Центростремительное ускорение всегда направлено к центру окружности, и его модуль равен $a_ц = \frac{v^2}{R}$, где $\text{v}$ — скорость шарика, а $\text{R}$ — радиус окружности (длина нити).

Рассмотрим две крайние точки траектории.

1. Верхняя точка траектории

В этой точке и сила натяжения нити $T_{верх}$, и сила тяжести $mg$ направлены в одну сторону — вертикально вниз, к центру окружности. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$T_{верх} + mg = m a_ц = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда выразим силу натяжения в верхней точке:

$T_{верх} = \frac{mv^2}{R} - mg$

2. Нижняя точка траектории

В этой точке сила натяжения нити $T_{ниж}$ направлена вертикально вверх, к центру окружности, а сила тяжести $mg$ — вертикально вниз. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$T_{ниж} - mg = m a_ц = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда выразим силу натяжения в нижней точке:

$T_{ниж} = \frac{mv^2}{R} + mg$

3. Разность сил натяжения

Теперь найдем разность сил натяжения в нижней и верхней точках, вычитая выражение для $T_{верх}$ из выражения для $T_{ниж}$:

$\Delta T = T_{ниж} - T_{верх} = \left(\frac{mv^2}{R} + mg\right) - \left(\frac{mv^2}{R} - mg\right)$

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

$\Delta T = \frac{mv^2}{R} + mg - \frac{mv^2}{R} + mg = 2mg$

Как видим, разность сил натяжения не зависит от скорости вращения шарика и длины нити. Подставим числовые значения:

$\Delta T = 2 \cdot 0,05 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 0,1 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 0,98 \, \text{Н}$

Ответ: разность сил натяжения нити в нижней и верхней точках траектории равна $0,98 \, \text{Н}$.