Номер 274, страница 143 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение искусственных спутников - номер 274, страница 143.

Условие.

274. Найдите период обращения спутника, движущегося вокруг Луны вблизи ее поверхности, если средняя плотность Луны $ 3300 \text{ кг}/\text{м}^3 $.

Решение.

Дано

Средняя плотность Луны: $\\rho= 3300 \text{ кг/м}^3$
Гравитационная постоянная: $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$

Найти:

Период обращения спутника $\text{T}$.

Решение

Спутник движется по круговой орбите вблизи поверхности Луны. Это означает, что сила всемирного тяготения, действующая на спутник со стороны Луны, является центростремительной силой.

Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения $F_g$ и центростремительную силу $F_c$:

$F_g = F_c$

$G \frac{M_Л m}{R_Л^2} = \frac{mv^2}{R_Л}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_Л$ — масса Луны, $\text{m}$ — масса спутника, $R_Л$ — радиус Луны (так как спутник движется вблизи поверхности, радиус орбиты приблизительно равен радиусу Луны), $\text{v}$ — орбитальная скорость спутника.

Сократив массу спутника $\text{m}$ и радиус $R_Л$ в уравнении, получим выражение для квадрата скорости:

$v^2 = G \frac{M_Л}{R_Л}$

Линейная скорость движения по окружности связана с периодом обращения $\text{T}$ и радиусом $R_Л$ следующим соотношением:

$v = \frac{2\pi R_Л}{T}$

Подставим это выражение для скорости в предыдущую формулу:

$\left(\frac{2\pi R_Л}{T}\right)^2 = G \frac{M_Л}{R_Л}$

$\frac{4\pi^2 R_Л^2}{T^2} = G \frac{M_Л}{R_Л}$

Выразим из этого уравнения квадрат периода $T^2$:

$T^2 = \frac{4\pi^2 R_Л^3}{G M_Л}$

Массу Луны $M_Л$ можно выразить через ее среднюю плотность $\rho$ и объем $V_Л$, принимая, что Луна имеет форму шара:

$M_Л = \\rhoV_Л = \\rho\cdot \frac{4}{3}\pi R_Л^3$

Теперь подставим выражение для массы Луны в формулу для периода:

$T^2 = \frac{4\pi^2 R_Л^3}{G \left(\\rho\frac{4}{3}\pi R_Л^3\right)}$

Сократим $4\pi R_Л^3$ в числителе и знаменателе:

$T^2 = \frac{\pi}{G \\rho\frac{1}{3}} = \frac{3\pi}{G\rho}$

Таким образом, формула для периода обращения спутника:

$T = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}$

Как видно, период обращения спутника на низкой орбите зависит только от средней плотности центрального тела и гравитационной постоянной.

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$T = \sqrt{\frac{3 \cdot 3.14159}{6.674 \times 10^{-11} \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2 \cdot 3300 \text{ кг/м}^3}} \approx \sqrt{\frac{9.42477}{2.20242 \times 10^{-7} \text{ с}^{-2}}} \approx \sqrt{42792613 \text{ с}^2} \approx 6541.6 \text{ с}$

Округлим результат. Полученное время можно также выразить в минутах и часах:

$T \approx 6542 \text{ с} \approx 109 \text{ минут} \approx 1 \text{ час } 49 \text{ минут}$

Ответ: $T \approx 6542 \text{ с}$ (или примерно 1 час 49 минут).