Номер 275, страница 143 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение искусственных спутников - номер 275, страница 143.

Условие.

275. Средняя высота спутника над поверхностью Земли 1700 км. Определите его период вращения. Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли считать равным $10 \text{ м/с}^2$.

Решение.

Дано

Средняя высота спутника, $h = 1700$ км
Радиус Земли, $R = 6400$ км
Ускорение свободного падения на поверхности Земли, $g = 10$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$h = 1700 \times 10^3 \text{ м} = 1.7 \times 10^6$ м
$R = 6400 \times 10^3 \text{ м} = 6.4 \times 10^6$ м

Найти:

Период вращения спутника, $\text{T}$.

Решение

Спутник движется по круговой орбите. Сила всемирного тяготения, действующая на спутник со стороны Земли, сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила гравитации равна произведению массы спутника на центростремительное ускорение:

$F_g = F_c$

Сила гравитационного притяжения определяется законом всемирного тяготения: $F_g = G\frac{Mm}{r^2}$. Центростремительная сила равна $F_c = m a_c = m\frac{v^2}{r}$.

$G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$

Здесь $\text{G}$ - гравитационная постоянная, $\text{M}$ - масса Земли, $\text{m}$ - масса спутника, $\text{v}$ - орбитальная скорость спутника, $\text{r}$ - радиус орбиты. Радиус орбиты $\text{r}$ равен сумме радиуса Земли $\text{R}$ и высоты спутника над поверхностью $\text{h}$:

$r = R + h = 6.4 \times 10^6 \text{ м} + 1.7 \times 10^6 \text{ м} = 8.1 \times 10^6$ м.

Из уравнения движения спутника можно выразить квадрат его скорости:

$v^2 = \frac{GM}{r}$

Скорость движения по орбите связана с периодом обращения $\text{T}$ соотношением:

$v = \frac{2\pi r}{T}$

Подставим это выражение в формулу для квадрата скорости и выразим период $\text{T}$:

$(\frac{2\pi r}{T})^2 = \frac{GM}{r} \implies \frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{GM}{r}$

$T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} \implies T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$

Произведение $GM$ неизвестно, но его можно выразить через ускорение свободного падения на поверхности Земли $\text{g}$. Сила тяжести на поверхности Земли равна $F_т = mg$, а также $F_т = G\frac{Mm}{R^2}$. Следовательно, $mg = G\frac{Mm}{R^2}$, откуда получаем $GM = gR^2$.

Подставим это выражение в формулу для периода:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{gR^2}}$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчет:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{(8.1 \times 10^6 \text{ м})^3}{10 \text{ м/с}^2 \times (6.4 \times 10^6 \text{ м})^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{8.1^3 \times 10^{18}}{10 \times 6.4^2 \times 10^{12}}} = 2\pi \sqrt{\frac{531.441 \times 10^{18}}{409.6 \times 10^{12}}}$

$T = 2\pi \sqrt{1.29746 \times 10^6 \text{ с}^2} \approx 2 \times 3.1416 \times 1139.06 \text{ с} \approx 7157 \text{ с}$

Переведем результат в более удобные единицы: $7157 \text{ с} \approx 119.3$ мин $\approx 1.99$ часа.

Ответ: Период вращения спутника составляет примерно 7157 с (около 1.99 часа).