Номер 273, страница 142 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение искусственных спутников - номер 273, страница 142.

Условие.

273. Каким должен быть радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли, чтобы он все время находился над одной и той же точкой земной поверхности на экваторе? Масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг.

Решение.

Дано:

Масса Земли $M = 6 \cdot 10^{24}$ кг

Период обращения спутника $T = 24$ ч

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

$T = 24 \text{ ч} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

Радиус круговой орбиты $\text{r}$

Решение:

Для того чтобы искусственный спутник постоянно находился над одной и той же точкой на экваторе, он должен двигаться по геостационарной орбите. Это означает, что период его обращения вокруг Земли должен быть равен периоду вращения Земли вокруг своей оси.

Движение спутника по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна центростремительной силе:

$F_{тяг} = F_{цс}$

Сила всемирного тяготения определяется по формуле:

$F_{тяг} = G \frac{M m}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса спутника, $\text{r}$ — радиус орбиты.

Центростремительная сила выражается через угловую скорость $\omega$ или период обращения $\text{T}$:

$F_{цс} = m a_ц = m \omega^2 r = m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 m r}{T^2}$

Приравниваем выражения для сил:

$G \frac{M m}{r^2} = \frac{4\pi^2 m r}{T^2}$

Сокращаем массу спутника $\text{m}$ и преобразуем уравнение, чтобы выразить радиус $\text{r}$:

$G \frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

$G M T^2 = 4\pi^2 r^3$

$r^3 = \frac{G M T^2}{4\pi^2}$

Отсюда находим радиус орбиты, извлекая кубический корень:

$r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}}$

Подставим числовые значения в формулу:

$r = \sqrt[3]{\frac{(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ Н·м²/кг²}) \cdot (6 \cdot 10^{24} \text{ кг}) \cdot (86400 \text{ с})^2}{4\pi^2}}$

Произведем вычисления:

$GM = 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24} = 4.002 \cdot 10^{14}$ м³/с²

$T^2 = (86400)^2 \approx 7.465 \cdot 10^9$ с²

$4\pi^2 \approx 4 \cdot (3.1416)^2 \approx 39.48$

$r = \sqrt[3]{\frac{4.002 \cdot 10^{14} \cdot 7.465 \cdot 10^9}{39.48}} \approx \sqrt[3]{\frac{2.988 \cdot 10^{24}}{39.48}}$

$r \approx \sqrt[3]{7.57 \cdot 10^{22}} \text{ м³} \approx 4.23 \cdot 10^7 \text{ м}$

Ответ: радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли должен быть равен $4.23 \cdot 10^7$ м (или 42300 км).