Номер 302, страница 146 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Импульс тела. Закон сохранения импульса - номер 302, страница 146.

Условие.

302. Ракета, масса которой без заряда 400 г, при сгорании топлива поднялась на высоту 125 м. Масса топлива 50 г. Определите скорость выхода газов из ракеты, считая, что сгорание топлива происходит мгновенно.

Решение.

Дано:

Масса ракеты без заряда (топлива), $m_р = 400 \text{ г}$

Масса топлива, $m_т = 50 \text{ г}$

Высота подъема, $h = 125 \text{ м}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (принимаем для удобства расчетов)

Перевод в систему СИ:

$m_р = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$

$m_т = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$

Найти:

Скорость выхода газов из ракеты, $\text{u}$ - ?

Решение:

Задачу можно разделить на два этапа. Сначала найдем начальную скорость ракеты после сгорания топлива, используя закон сохранения энергии для ее дальнейшего полета. Затем, используя закон сохранения импульса для момента сгорания топлива, найдем скорость истечения газов.

1. Нахождение начальной скорости ракеты ($v_р$).

После того как топливо мгновенно сгорело, ракета (уже без топлива) обладает некоторой начальной скоростью $v_р$ и, соответственно, кинетической энергией. Поднимаясь на высоту $\text{h}$, эта кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию. По закону сохранения механической энергии:

$E_к = E_п$

$\frac{m_р v_р^2}{2} = m_р g h$

Отсюда можно выразить начальную скорость ракеты:

$v_р^2 = 2 g h$

$v_р = \sqrt{2 g h}$

Подставим числовые значения:

$v_р = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 125 \text{ м}} = \sqrt{2500 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 50 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

2. Нахождение скорости выхода газов ($\text{u}$).

Рассмотрим систему "ракета + топливо". До момента старта система покоилась, ее суммарный импульс был равен нулю. Поскольку сгорание топлива происходит мгновенно, можно считать систему замкнутой и применить закон сохранения импульса. Суммарный импульс системы после сгорания топлива также должен быть равен нулю.

$P_{до} = P_{после}$

$0 = \vec{p_р} + \vec{p_т}$

где $\vec{p_р}$ — импульс ракеты, а $\vec{p_т}$ — импульс газов. Направим ось OY вертикально вверх. Тогда импульс ракеты будет $p_р = m_р v_р$, а импульс газов $p_т = m_т v_г$, где $v_г$ — скорость газов относительно Земли.

$0 = m_р v_р + m_т v_г$

Отсюда скорость газов относительно Земли:

$v_г = -\frac{m_р v_р}{m_т}$

Знак "минус" показывает, что газы движутся в направлении, противоположном движению ракеты (то есть вниз).

Скорость выхода газов из ракеты ($\text{u}$) — это скорость газов относительно ракеты. Она равна разности скоростей газов и ракеты (относительно Земли):

$\vec{u} = \vec{v_г} - \vec{v_р}$

В проекции на ось OY:

$u_y = v_г - v_р = -\frac{m_р v_р}{m_т} - v_р = -v_р \left(\frac{m_р}{m_т} + 1\right) = -v_р \frac{m_р + m_т}{m_т}$

Искомая скорость выхода газов — это модуль этой величины:

$u = |u_y| = v_р \frac{m_р + m_т}{m_т}$

Подставим числовые значения:

$u = 50 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \frac{0.4 \text{ кг} + 0.05 \text{ кг}}{0.05 \text{ кг}} = 50 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \frac{0.45}{0.05} = 50 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 9 = 450 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $450 \text{ м/с}$.