Номер 308, страница 147 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Импульс тела. Закон сохранения импульса - номер 308, страница 147.

Условие.

308. Стоящий на льду человек массой 60 кг ловит мяч массой 0,5 кг, который летит горизонтально со скоростью 20 м/с. На какое расстояние откатится человек с мячом по горизонтальной поверхности льда, если коэффициент трения 0,05?

Решение.

Дано:

Масса человека $m_1 = 60$ кг

Масса мяча $m_2 = 0,5$ кг

Начальная скорость человека $v_1 = 0$ м/с

Скорость мяча $v_2 = 20$ м/с

Коэффициент трения $\mu = 0,05$

Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Расстояние $\text{S}$ — ?

Решение:

Процесс можно разбить на два этапа: 1) абсолютно неупругое соударение (человек ловит мяч) и 2) движение системы «человек-мяч» с замедлением под действием силы трения до полной остановки.

1. Рассмотрим момент соударения. Поскольку взаимодействие происходит за очень короткое время, а внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) в горизонтальном направлении отсутствуют, для системы «человек-мяч» выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Импульс системы до взаимодействия равен сумме импульсов человека и мяча:

$p_{до} = m_1 v_1 + m_2 v_2$.

Поскольку человек изначально покоился ($v_1 = 0$), то $p_{до} = m_2 v_2$.

После того как человек поймал мяч, они стали двигаться вместе как единое целое с общей скоростью $\text{u}$. Импульс системы после взаимодействия:

$p_{после} = (m_1 + m_2) u$.

Согласно закону сохранения импульса, $p_{до} = p_{после}$:

$m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$.

Выразим отсюда скорость $\text{u}$ человека с мячом сразу после того, как он поймал мяч:

$u = \frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{0,5 \, \text{кг} \cdot 20 \, \text{м/с}}{60 \, \text{кг} + 0,5 \, \text{кг}} = \frac{10}{60,5} \, \text{м/с}$.

2. Теперь рассмотрим движение человека с мячом до полной остановки. На систему действует сила трения скольжения, которая замедляет движение. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Изменение кинетической энергии системы равно работе, совершенной силой трения.

$\Delta E_k = A_{тр}$.

Начальная кинетическая энергия системы (сразу после ловли мяча): $E_{k \, нач} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2}$.

Конечная кинетическая энергия (после остановки): $E_{k \, кон} = 0$.

Изменение кинетической энергии: $\Delta E_k = E_{k \, кон} - E_{k \, нач} = - \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2}$.

Работа силы трения $A_{тр} = -F_{тр} \cdot S$, где $\text{S}$ — искомое расстояние. Знак «минус» указывает на то, что сила трения направлена против движения.

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N$. На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции $\text{N}$ равна по модулю силе тяжести: $N = (m_1 + m_2)g$.

Таким образом, $F_{тр} = \mu(m_1 + m_2)g$.

Подставим выражения для изменения энергии и работы в исходное равенство:

$- \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} = - \mu (m_1 + m_2) g S$.

Сократим массу $(m_1 + m_2)$ и знак «минус» в обеих частях уравнения и выразим расстояние $\text{S}$:

$S = \frac{u^2}{2 \mu g}$.

Подставим числовые значения и рассчитаем расстояние:

$S = \frac{(\frac{10}{60,5})^2}{2 \cdot 0,05 \cdot 10} = \frac{(\frac{10}{60,5})^2}{1} = \frac{100}{60,5^2} = \frac{100}{3660,25} \approx 0,0273$ м.

Результат можно перевести в сантиметры: $0,0273$ м $\approx 2,7$ см.

Ответ: человек с мячом откатится на расстояние приблизительно $0,027$ м (или $2,7$ см).