Номер 315, страница 148 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 315, страница 148.

Условие.

315. На гладком горизонтальном столе лежит канат длиной 2 м, один из концов которого немного свисает. Определите скорость каната, когда он весь соскользнет со стола. Сила трения отсутствует.

Решение.

Дано:

Длина каната, $L = 2$ м

Начальная скорость каната, $v_0 = 0$ м/с

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Скорость каната в момент соскальзывания, $\text{v}$ - ?

Решение:

Для решения этой задачи применим закон сохранения механической энергии. Поскольку стол гладкий и сила трения отсутствует, полная механическая энергия системы (канат в поле тяготения Земли) сохраняется.

Выберем в качестве нулевого уровня для отсчета потенциальной энергии горизонтальную поверхность стола ($h=0$).

Рассмотрим два состояния системы:

1. Начальное состояние. Канат лежит на столе, его конец лишь немного свисает. Скорость каната в этот момент равна нулю. Полная механическая энергия системы $E_1$ равна сумме кинетической ($K_1$) и потенциальной ($U_1$) энергий.

Кинетическая энергия $K_1 = 0$, так как канат неподвижен ($v_0 = 0$).

Потенциальная энергия $U_1 = 0$, так как практически весь канат (и его центр масс) находится на нулевом уровне.

Следовательно, полная начальная энергия системы: $E_1 = K_1 + U_1 = 0$.

2. Конечное состояние. Канат полностью соскользнул со стола и движется как единое целое со скоростью $\text{v}$. Полная механическая энергия системы в этом состоянии $E_2$ также является суммой кинетической ($K_2$) и потенциальной ($U_2$) энергий.

Пусть масса каната равна $\text{m}$. Тогда его кинетическая энергия $K_2 = \frac{1}{2}mv^2$.

В конечном состоянии весь канат свисает вертикально. Центр масс однородного каната находится в его середине, то есть на расстоянии $L/2$ ниже уровня стола. Таким образом, высота центра масс равна $h_{цм} = -L/2$. Потенциальная энергия каната: $U_2 = mgh_{цм} = -mg\frac{L}{2}$.

Полная конечная энергия системы: $E_2 = K_2 + U_2 = \frac{1}{2}mv^2 - mg\frac{L}{2}$.

Согласно закону сохранения механической энергии, начальная энергия равна конечной: $E_1 = E_2$.

$0 = \frac{1}{2}mv^2 - mg\frac{L}{2}$

Из этого уравнения выразим скорость $\text{v}$:

$\frac{1}{2}mv^2 = mg\frac{L}{2}$

Сократим массу $\text{m}$ и множитель $\frac{1}{2}$ в обеих частях уравнения:

$v^2 = gL$

$v = \sqrt{gL}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$v = \sqrt{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ м}} = \sqrt{19,6 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 4,43$ м/с.

Ответ: скорость каната, когда он весь соскользнет со стола, составляет примерно 4,43 м/с.