Номер 317, страница 148 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 317, страница 148.

Условие.

317. По горизонтальной поверхности катится без проскальзывания обруч массой 0,5 кг со скоростью 0,6 м/с. Чему равна его кинетическая энергия?

Решение.

Дано:

Масса обруча $m = 0,5$ кг
Скорость центра масс обруча $v = 0,6$ м/с

Найти:

Кинетическую энергию обруча $E_к$ - ?

Решение:

Поскольку обруч катится без проскальзывания, его движение является сложным и состоит из двух видов движения: поступательного движения центра масс и вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.

Полная кинетическая энергия $E_к$ тела, катящегося без проскальзывания, равна сумме кинетической энергии поступательного движения $E_{пост}$ и кинетической энергии вращательного движения $E_{вращ}$:

$E_к = E_{пост} + E_{вращ}$

Кинетическая энергия поступательного движения определяется по формуле:

$E_{пост} = \frac{mv^2}{2}$

где $\text{m}$ — масса обруча, $\text{v}$ — скорость его центра масс.

Кинетическая энергия вращательного движения определяется по формуле:

$E_{вращ} = \frac{I\omega^2}{2}$

где $\text{I}$ — момент инерции обруча, $\omega$ — его угловая скорость.

Момент инерции для обруча (тонкого кольца) относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости обруча, равен:

$I = mR^2$

где $\text{R}$ — радиус обруча.

Условие качения без проскальзывания связывает линейную скорость центра масс $\text{v}$ и угловую скорость $\omega$:

$v = \omega R$, откуда $\omega = \frac{v}{R}$

Подставим выражения для момента инерции и угловой скорости в формулу для кинетической энергии вращения:

$E_{вращ} = \frac{(mR^2)(\frac{v}{R})^2}{2} = \frac{mR^2 \frac{v^2}{R^2}}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Теперь найдем полную кинетическую энергию, сложив энергии поступательного и вращательного движений:

$E_к = E_{пост} + E_{вращ} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$E_к = 0,5 \text{ кг} \cdot (0,6 \text{ м/с})^2 = 0,5 \cdot 0,36 \text{ Дж} = 0,18 \text{ Дж}$

Ответ: $0,18$ Дж.